Matrix positiv und negativ definit

02.03.2012, 12:11

CrazyAndi

Matrix positiv und negativ definit

So ich habe über das Thema schon einiges gelesen, aber ob ich es nun richtig verstanden habe kann ich noch nicht sagen.
Hier ist ein Beispiel, hoffe das mich einer korrigiert oder bestätigt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 2 & -a \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a= parameter

Aufgabe: Bestimmen sie den Parameter so das die Matrix A positiv bzw negativ definit sind.

positiv definit: Also wenn ich das richtig verstanden habe muss folgendes positiv sein:

1.Determinante: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

2.Determinante: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

3.Determinante: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 2 & -a \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis:
1. a
2. a-4
3. a²-5a+1

Daraus folgt a= 4,79
Kann das sein?

Aufgabe bestimmen sie den parameter so, dass die Matrix negativ definit sei:

Da würde ich wie oben vor gehen, nur dann müssen alle Determinanten negativ sein.
Liege ich mit meiner Annahme richtig?

02.03.2012, 13:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte:

1. Für nicht-symmetrische Matrizen gilt das Hauptminorenkriterum nicht. (Und die Matrix ist nur für a = -1 symmetrisch.

Du könntest aber den symmetrischen Anteil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(A+A^T) \end{eqnarray*}$ betrachten.

2. Das Hauptminorenkriterum kannst du nicht einfach direkt auf negative Definitheit übertragen. Beispiel: Die 3x3-Diagonalmatrix mit -1en auf der Diagonale. Die ist negativ definit, aber die 2. Hauptminore ist positiv.

Das ist aber kein Problem, denn du kannst einfach -A auf positive Definitheit überprüfen, das ist äquivalent zur negativen Definitheit von A.

02.03.2012, 13:43

wdposchmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Matrix positiv und negativ definit
Hi,

Zitat:

Mein Ergebnis:
1. a
2. a-4
3. a²-5a+1

Daraus folgt a= 4,79
Kann das sein?

Stimmt fast. Also korrekterweise musst du sagen a > 4,79, da wenn a = 4,79 die letzte Determinante lediglich größer gleich Null ist und die Matrix dann "nur" positiv semidefinit.

Zitat:

Aufgabe bestimmen sie den parameter so, dass die Matrix negativ definit sei:

Da würde ich wie oben vor gehen, nur dann müssen alle Determinanten negativ sein.
Liege ich mit meiner Annahme richtig?

Nicht ganz. Für negative Definitheit gilt:

$\begin{eqnarray*} (-1)^r det(A_r) > 0 \end{eqnarray*}$ für r = 1,2,...,n.

Also det(A_1) < 0, det(A_2) > 0, det(A_3) < 0

Gruß

EDIT: tmo hat recht, das Kriterium gilt nicht für nicht symmetrische Matrizen, von daher ist mein Eintrag belanglos. Sorry!

02.03.2012, 14:15

CrazyAndi

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann wiederhole ich nochmal was ihr gesagt habt und schau ob ich es verstanden habe.

Das Verfahren welches ich bei meine Aufgabe benutzt habe ist nur bei symmetrischen Matrizen zulässig.

Gibt es eine andere Methode mit der man die Definitheit der obigen Aufgabe bestimmen kann oder lassen sich nur symmetrische Matrizen auf Definitheit überprüfen? Das würde ja dann bedeuten das ich die du in deinem Post geschrieben hast ich erst die Matrix so verändern muss das sie symmetrisch ist.

So ich habe mir nun ein anderes Beispiel gesucht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ a & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meines erachtens kann es ja jetzt nur positiv definit sein, bei negativer Definitheit müsste ja anstatt der 2 eine negative Zahl stehen oder?

Ergebnis::
1) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) 2 - a²

3) a² + a -0,5

Aus der dritten Gleichung würde ich mir nun meinen Wert für "a" zeihen?

02.03.2012, 14:24

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch nicht-symmetrische Matrizen auf Definitheit überprüfen. Nur eben nicht direkt mit dem Hauptminorenkriterium.
Eine Möglichkeit ist eben, denn symmetrischen Anteil $\begin{eqnarray*} S := \frac{1}{2}(A+A^T) \end{eqnarray*}$ auf Definitheit zu überprüfen.

Wegen $\begin{eqnarray*} x^TAx = x^TSx \end{eqnarray*}$ hat sich nämlich nichts an der Definiheit geändert.

Zu der neuen Aufgabe: Du hast richtig erkannt, dass die Matrix höchstens positiv definit sein kann.
Es gilt sogar noch viel mehr:
Bei einer positiv (negativ) definiten Matrix sind alle Diagonaleinträge positiv (negativ).

Das sieht man wegen $\begin{eqnarray*} e_i^TAe_i = a_{ii} \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij}) \end{eqnarray*}$ ist) direkt aus der Definition.

Nun zu deiner Lösung. Du musst schauen, wann der Term (2) und wann der Term (3) positiv ist. Und dann musst du halt den Durchschnitt nehmen. D.h. schauen, wann beide Terme gleichzeitig positiv sind.

02.03.2012, 18:07

CrazyAndi

Auf diesen Beitrag antworten »

super ich habe es verstanden, falls das bei uns in der Prüfung drankommen sollte, dann wird es sich höchst wahrscheinlich um eine symmetrische handeln. Aber auch wenn eine andere dran kommen sollte denke ich doch das ich es verstanden habe.
Vielen Dank für eure Mühen!

Neue Frage »

Antworten »

Matrix positiv und negativ definit

Verwandte Themen