Operation Wirkung

02.03.2012, 14:28

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Operation Wirkung

Meine Frage:
Ich habe eine - wenn man sich auskennt mit Algebra - denke ich einfache Frage zu Operationen/Wirkungen:

Es steht folgende Aussage im Raum, wobei V Vektorraum und P Menge aller eindimensionalen Unterräume von V:

"Die Gruppe GL(V) wirkt transitiv auf P, aber i.A. nicht treu, denn Vielfache von id_V bewirken id_P."

Meine Ideen:
Grundsätzlich mal eine erste Frage:
Da steht: "GL(V) wirkt transitiv auf P." Hier habe ich schon meine erste Verständnisschwierigkeit: Heißt das GL(V) wirkt beliebig auf P - man muss ja immer einen Homomorphismus h: GL(V) --> Sym(P) finden??? Oder setze ich hier id als h voraus?
Woher weiß ich, dass auch wirklich alle solche Homomorphismen transitiv sind? Folgt das aus der Definition von P?

Dann zur Aussage "treu":
Meint das z.B., dass ich h(2id_V) betrachte? Wie kommt man dann auf id_P?

Großes Rätselraten, vielen lieben Dank für eure Antworten!!!

02.03.2012, 18:59

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Operation Wirkung
Hallo latingirl,

Die Operation von GL(V) ist hier nicht beliebig. Du weißt ja sicher, dass GL(V) auf V operiert, d.h. ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ wird unter $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} v^g \end{eqnarray*}$ abgebildet.
Nun kann man eine Operation auf P festlegen, indem man für $\begin{eqnarray*} g\in GL(V) \end{eqnarray*}$ festlegt, dass ein eindimensionaler Unterraum $\begin{eqnarray*} \langle v\rangle \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \langle v^g\rangle \end{eqnarray*}$ abgebildet wird.
(Keine Ahnung, wie Ihr das dann genau schreibt - die Schreibweisen bei Operation/Wirkung sind extrem vielfältig)
Auf diese Weise operiert GL(V) kanonisch auf P (Wobei man die Operationseigenschaften letztlich noch nachprüfen müsste - insbesondere die Wohldefiniertheit dieser Operation sollte man sich überlegen; der Rest folgt ziemlich direkt aus der Operationseigenschaft auf V.)

Und ich gebe zu, dass es nicht sofort klar sein muss, dass diese Operation gemeint ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

Edit. Noch ein Nachtrag:
Eine beliebige Gruppenoperation wird im Allgemeinen weder transitiv noch treu sein. Man kann ja zum Beispiel jedes Gruppenelement trivial operieren lassen. Das ist immer eine Operation.

02.03.2012, 19:24

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, erst einmal vielen Dank für deine Antwort!

Einigermaßen verstehe ich das, was du da aufgeschrieben hast.
Allerdings ist mir nicht ersichtlich, wie du auf die Operation bzgl. des eindimensionalen Unterraums kommst. Warum bildest du den gesamten UR <v> ab, und nicht nur ein Element daraus?

Wohldefiniertheit haben wir in diesem Sinne nie nachgeprüft, meinst du damit Repräsentantenunabhängigkeit, also 2 Elemente aus dem Unterraum müssen unter der Operation wieder auf denselben Unterraum abgebildet werden, oder so ähnlich...

Leider ist aber immer noch nicht meine Frage zur "Treue-Eigenschaft" beantwortet...

lg

02.03.2012, 19:33

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst doch auf der Menge der eindimensionalen UR operieren. Deshalb musst Du Dir überlegen, wie ein Gruppenelement einen eindimensionalen UR abbilden soll.
Und da ist dann eben die Vorschrift so:
Sei $\begin{eqnarray*} U\in P \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist ein eindimensionaler UR und somit gibt es ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U=\langle v\rangle \end{eqnarray*}$ .
Dann wirkt $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ eben so, dass $\begin{eqnarray*} U^g:=\langle v^g\rangle \end{eqnarray*}$ ist.
Damit hat man eine prima Vorschrift, wie Elemente von P (also eindimensionale UR) wieder auf Elemente von P abgebildet werden.

Und zur Wohldefiniertheit:
Ein eindimensionaler UR hat natürlich nicht nur einen Erzeuger, sondern mehrere. Die obige Vorschrift ist nur dann sinnvoll, wenn für $\begin{eqnarray*} \langle v\rangle =\langle w\rangle \end{eqnarray*}$ immer auch $\begin{eqnarray*} \langle v^g\rangle=\langle w^g\rangle \end{eqnarray*}$ gilt.
Ist aber nicht schwer zu sehen.

Zur Treue:
Überlege Dir einfach, was $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot id_V \end{eqnarray*}$ auf einem eindimensionalen Unterräumen bewirkt.

02.03.2012, 19:47

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam komme ich dem Ziel näher...

Zitat:

Original von Reksilat
Du willst doch auf der Menge der eindimensionalen UR operieren.

Sorry, zu ungenau gelesen...

Zitat:

Dann wirkt $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ eben so, dass $\begin{eqnarray*} U^g:=\langle v^g\rangle \end{eqnarray*}$ ist.

Muss es statt G nicht GL(V) heißen???

Grundsätzlich eine Frage: Mit <...> meinst du schon den span eines Unterraums (also mit Skalaren etc.)?
Da fällt mir eins auf, was jetzt nicht direkt mit Operationen zu tun hat:
Kann es in einem UR vorkommen, dass $\begin{eqnarray*} s\cdot v = v+v+v+...+v \end{eqnarray*}$ (s Skalar, v Vektor) das neutrale Element ergibt, so wie in einer endlichen zyklischen Gruppe? Nein oder, da UR unendlich?

Bzgl. der "treu" muss ich noch überlegen...

02.03.2012, 19:54

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Muss es statt G nicht GL(V) heißen???

Ja. Der Einfachheit halber habe ich in Gedanken wohl G:=GL(V) gesetzt.

Zitat:

Grundsätzlich eine Frage: Mit <...> meinst du schon den span eines Unterraums (also mit Skalaren etc.)?

Ja.

Zitat:

Kann es in einem UR vorkommen, dass $\begin{eqnarray*} s\cdot v = v+v+v+...+v \end{eqnarray*}$ (s Skalar, v Vektor) das neutrale Element ergibt, so wie in einer endlichen zyklischen Gruppe?

Das kommt auf die Charakteristik des Körpers an, über dem Dein VR definiert ist.
Ist der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so kann das nicht passieren.
Es gilt auf jeden Fall immer:
$\begin{eqnarray*} s\neq 0, v\neq 0\Rightarrow s\cdot v\neq 0 \end{eqnarray*}$

Anzeige

02.03.2012, 20:28

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das kommt auf die Charakteristik des Körpers an, über dem Dein VR definiert ist.

Können die Vektoren eines Vektorraums nicht unabhängig sein vom Skalarenkörper?

Nun zum eigentlichen Problem:
Wenn ich folgende Abbildung vornehme:
$\begin{eqnarray*} <v>\rightarrow <v^{\lambda id_V} > \end{eqnarray*}$ , erhalte ich dann:
$\begin{eqnarray*} <v^{\lambda id_V} > = <v^{\lambda }v^{id_V} > \end{eqnarray*}$ ???
Der Exponent ist ja immerhin keine "Zahl", sondern eine Abbildung, da die zugrundelieg. Gruppe ja GL(V) ist. Aber was bedeutet das dann? Gefühlt würde ich sagen, rechts steht derselbe Unterraum...

02.03.2012, 20:39

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, und eins habe ich noch vergessen:
Ist die Transitivität der Wirkung auf P trivial???

02.03.2012, 20:43

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} v^\lambda \end{eqnarray*}$ ergibt keinen Sinn, da $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nicht in der operierenden Gruppe liegt.

Du solltest Dich besser mit der Operation von GL(V) auf V vertraut machen! Insbesondere, was $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot id_V \end{eqnarray*}$ ist und wie es Vektoren abbildet.

Wenn Dir die Exponentenschreibweise nicht liegt, dann kannst Du auch was anderes vorschlagen. Ich weiß ja nicht, wie es bei Euch üblich ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Ist die Transitivität der Wirkung auf P trivial?

Es ist zumindest sehr leicht zu sehen, wenn man weiß, dass GL(V) auf V transitiv ist.

02.03.2012, 20:52

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Okidoki, also in "meiner" Schreibweise wäre das:
$\begin{eqnarray*} \lambda id_V (<v>)=\lambda <v>=<v> \end{eqnarray*}$ wegen der UR-Eigenschaft.
Stimmt das so?

Vielen Dank!

02.03.2012, 20:54

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Genauer ist:
$\begin{eqnarray*} \lambda id_V (<v>)=<\lambda id_V(v)>= <\lambda v>=<v> \end{eqnarray*}$

Bin für heute weg. Wink

Wink

03.03.2012, 10:17

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich denke jetzt ist alles klar bis auf:

Zitat:

Zitat:

Ist die Transitivität der Wirkung auf P trivial?

Es ist zumindest sehr leicht zu sehen, wenn man weiß, dass GL(V) auf V transitiv ist.

Ich kenne bisher nur die Aussage, dass GL(V) transitiv auf V*=V\{0} ist (Die Wirkung wäre hier id).

Was verstehe ich falsch bzw. wie sieht man deiner oben angegebenen Wirkung (die du ja bzgl. V nicht wirklich definiert hast) an, dass sie transitiv ist?

Danke für die geduldige Hilfe!

03.03.2012, 10:45

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wirkung von GL(V) auf V habe ich nicht definiert, da ja GL(V) als Menge von Automorphismen von V definiert ist und insofern klar sein sollte, welches die kanonische Wirkung ist.

Und Du hast natürlich recht, dass GL(V) nur auf V\{0} transitiv ist. Tut mir leid für die Ungenauigkeit.

Gruß,
Reksilat.

03.03.2012, 10:50

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

kanonische Wirkung - noch nie gehört, aber ich tippe mal auf id

Und was mache ich jetzt mit der Transitivität?

Habe mir grad nochmals den Forenbeitrag Schritt für Schritt ordentlich aufgeschrieben, aber mir fällt gerade noch nix dazu ein...

lg

03.03.2012, 10:53

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wer "garantiert", dass die Funktion mit
g(span(v)) = span(g(v))
auch wirklich bijektiv ist???

Fragen über Fragen - ich fühl mich echt noch ein wenig überfordert...

03.03.2012, 11:39

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von latingirl
kanonische Wirkung - noch nie gehört, aber ich tippe mal auf id

Du meinst, dass jedes Element aus GL(V) als Identität operiert? Nein, das ist falsch, das wäre die triviale Wirkung.
Die kanonische Wirkung bezeichnet einfach eine "natürliche" Operation, also die Operation, die sofort naheliegend ist. In unserem Falle sind die operierenden Elemente Homomorphismen auf V. Und ein Element $\begin{eqnarray*} g\in GL(V) \end{eqnarray*}$ operiert eben so auf V, dass es ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} g(v) \end{eqnarray*}$ abbildet. Eben ganz natürlich.

Zitat:

Und wer "garantiert", dass die Funktion mit
g(span(v)) = span(g(v))
auch wirklich bijektiv ist???

Das folgt mit der Bijektivität von g

04.03.2012, 12:55

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Transitivität folgt doch aus der Transitivität von GL(V) auf V\{0}, da ja der Unterraum, der nur die Null enthält, nicht in der Menge der eindimensionalen UR liegt. Stimmt die Begründung so?

Wenn das stimmt, dann hab ich jetzt alles denke ich verstanden, bis auf eins vielleicht:
Ich muss mir für die Ausgangsaufgabe nicht über alle transitiven Wirkungen Gedanken machen, sondern es genügt, die kanonische zu betrachten???

SUUUPPPEEER! Vielen vielen Dank an Reksilat!

04.03.2012, 15:53

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Begründung reicht mir persönlich noch nicht. Nimm doch mal zwei beliebige eindimensionale UR her (und nenne die Erzeuger $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ).
Wie und warum findest Du nun in der GL(V) ein Element, das $\begin{eqnarray*} \langle v\rangle \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \langle w\rangle \end{eqnarray*}$ abbildet?

Zur Aufgabenstellung:
Es ist ja zu zeigen, dass GL(V) transitiv operiert. Insofern muss also eine Operation gegeben sein. Da diese nicht explizit angegeben ist, kann es eigentlich nur um die kanonische Operation gehen.

04.03.2012, 18:23

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, gesucht ist ja $\begin{eqnarray*} g\in GL(V) \end{eqnarray*}$ mit span(g(v)) = span(w).
Da mit v und w auch g(v) nicht Null ist, folgt die Existenz eines solchen $\begin{eqnarray*} g\in GL(V) \end{eqnarray*}$ doch aus der Transitivität von GL(V) auf V\{0}.
Fehlt da noch etwas in der Begründung? Ich seh's net...

04.03.2012, 18:32

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da mit v und w auch g(v) nicht Null ist, ...

Den Sinn dieses Halbsatzes verstehe ich nicht. Ebenso wie ich oben nicht verstanden habe, was die Tatsache, dass der Nullraum nicht in P liegt mit der Argumentation zu tun hat.

Sicher, aus der Transitivität auf V folgt, dass es ein g mit g(v)=w gibt und damit ist der Beweis erbracht.

Wenn da noch was anderes dazwischen steht, was nicht unbedingt nötig ist, finde ich das aber verwirrend.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.03.2012, 18:36

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Da g ja ein Isomorphismus ist und g(0)=0, kann ja g(v) nicht Null sein, wenn v nicht Null ist.
Das muss meiner Meinung nach erwähnt werden, damit man span(g(v))=span(0)={0} ausschließen kann, da ja eben der Nullraum nicht in P liegt.
Für die Argumentation ist das meiner Meinung nach wichtig, da nur dann die Transitivität auf V\{0} sichergestellt ist.
Klar soweit? Müsste passen...

04.03.2012, 18:44

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Das gehört dann aber eher zum Beweis, dass G auf P operiert. Für die Transitivität benötigt man es nicht. Zudem solltest Du nicht schreiben, dass "g(v) nicht Null ist", bevor Du überhaupt ein g festgelegt hast.

04.03.2012, 18:56

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Also beim Beweis, dass GL(V) auf P operiert habe ich das nicht gebraucht, aber nun gut, ich denke das Problem ist gut genug erklärt!
DANKE!

Noch eine andere Frage (welche auch meinen anderen (bis jetzt unbeantworteten) Forenbeitrag betrifft):
Ich hänge gerade bei dem Beweis einer Sylow-Aussage:

Jede p-Untergruppe von G liegt in einer p-Sylowgruppe von G, $\begin{eqnarray*} P\in Syl_p G \end{eqnarray*}$ .

Für den Beweis wurde die Menge
$\begin{eqnarray*} M=\{gPg^{-1} |g\in G\} \end{eqnarray*}$ aufgestellt.
Eine Untergruppe U von G wirkt auf M durch Konjugation und jede Bahnlänge ist eine Potenz von p.

- Soweit alles verstanden, aber dann: -

Wir hatten gezeigt, dass |M| nicht durch p teilbar ist - auch noch klar.
Deshalb hat U einen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} Q\in M \end{eqnarray*}$ .

Warum das???
Also ich weiß ja, dass M keine Bahn der Wirkung U ist und somit die Wirkung nicht transitiv ist.
Aber dann???

04.03.2012, 20:06

Bolzano

Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst Du den Fixpunktsatz?

Es sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^{r} \end{eqnarray*}$ , p prim. $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ operiere auf einer endlichen Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} |X| \equiv |\left\{Fixpunkte\right\}| mod p \end{eqnarray*}$

Insbesondere gibt es wenigstens einen Fixpunkt, wenn $\begin{eqnarray*} |X| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind.

Beweisskizze: Betrachte $\begin{eqnarray*} X = X_{1} \cup ... \cup X_{n} \end{eqnarray*}$ als disjunkte Vereinigung seiner Bahnen. Dann gilt auch auch $\begin{eqnarray*} |X| = |X_{1}| + ... + |X_{n}| \end{eqnarray*}$
Die Länge der Bahnen ist entweder eine Potenz von p oder hat die Länge 1 (sie ist ein Fixpunkt). Daraus folgt schon die erste Aussage...die zweite ist dann trivial.

Daraus folgt dann der Punkt, an dem Du momentan sitzt smile

smile

04.03.2012, 20:17

latingirl

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh danke, super, ich glaube ich sollte früher einen Eintrag hier im Forum tätigen, würde viel Zeit sparen... ;-)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »