Extremwertaufgabe - Formel umstellen

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JohnA Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe - Formel umstellen
Hallo,

ich arbeite mich zur Zeit durch die Extremwertaufgaben und habe massive Probleme bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis, sowie der Umfang (20m) des Gebildes. Gesucht ist die maximale Fläche:

[attach]23358[/attach]
EDIT Math1986: Bilder bitte immer im Forum hochladen!

Meine Ansätze sehen wie folgt aus:

Hauptbedingung: A = a * b + (Pi * r²) / 2
Nebenbedingung: U = 2b + a + (2 * Pi * r) / 2

Ich habe nun des Öfteren versucht dieses Problem zu lösen jedoch immer ohne Erfolg. Die Lösung würde mir nicht's bringen, ich bräuchte einen Ansatz oder Lösungssweg und nach Möglichkeit eine Erklärung.
Möglicherweise liegt mein Problem darin die Formeln richtig umzustellen.


Vielen Dank
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe - Formel umstellen
Es ist doch a=2r.
Damit kannst Du die Nebenbedingung nach a auflösen und erhältst als Hauptbedingung eine Funktion von r.
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, soweit bin ich auch schon gekommen jedoch weiss ich dann nicht weiter. Ich glaube ich kann es einfach nicht korrekt umstellen durch die ganzen Brüche. Kann jemand mal den Anfang vorrechnen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde dir gern helfen, aber du musst den Anfang machen.

Offenbar bist du doch schon einen Schritt weiter gekommen.

Der zweite Bruch muss übrigens nicht sein. Augenzwinkern

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also ich habe erstmal versucht die Gleichungen zu vereinfachen und die Nebenbedinung nach a aufzulösen:

Ist das soweit korrekt?


HB: A = a * b + (Pi * a²) / 2

NB aufgelöst nach a: a = (4b + 2a) / Pi
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, da hat dich Valdas Ivanauskas auf eine falsche Fährte geführt.
Wenn a = 2r, dann brauchst du die NB nicht nach a umzustellen, weil du a ja schon durch r ausdrücken kannst.
Es ist viel sinnvoller, die NB nach b umstellen. Augenzwinkern
Dann hast du in der HB nur noch r als Variable.

smile
 
 
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm wieso? Ich habe gesagt r = a/2 und meine Hauptbedingung danach aufgestellt. Also in meiner Rechnung gibt es kein r mehr, deswegen auch die Umstellung nach a ?!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dennoch musst du auch noch das b ersetzen.

In der HB darf nur noch eine Variable vorkommen.

Kannst du das b nach a auflösen? verwirrt
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, klar!

Okay, ich hab's jetzt doch nach b aufgelöst smile

Kommt das hin?

b = -a / 2 + (a * Pi) / 4
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass du die 10 vergessen hast? verwirrt

Weiterhin müssen die (a * Pi) / 4 auch subtrahiert werden.

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja ich komm da einfach nicht hinter... Das Umstellen haut nicht hin.

Nochmal ein Versuch:

b = -a / 4 - (Pi * a) / 4 + 10
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist zwar die 10 da Freude , aber aus dem 1/2 a ist 1/4 a geworden... verwirrt
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ könnte ich noch das hier anbieten:

b = -a - 2 * Pi * a + 10
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich sollte klar sein, wie es aussehen muss:

U = 2b + a + (2 * pi * r) / 2

20= 2b + a + 1/2 a*pi

2b = 20 - a - 1/2 a*pi

b = 10 - 1/2 a - 1/4 a*pi

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ja jetzt wo ich es sehe macht es irgendwie Sinn! Big Laugh

Komisch, ich bin da komplizierter ran gegangen.

...ich mach mal weiter! Wink
Valdas Ivanauskas Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sulo
Ich würde sagen, da hat dich Valdas Ivanauskas auf eine falsche Fährte geführt.


Aber höchstens passiv, weil ich mich da einfach nur stumpf vertippt habe.

Es ist doch a=2r.
Damit kannst Du die Nebenbedingung nach b auflösen und erhältst als Hauptbedingung eine Funktion von r.
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein das a = 20m rauskommt?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, a ist etwa ein Viertel deines Ergebnisses. smile


@Valdas Ivanauskas
Ok, dann macht dein Beitrag auch Sinn. Freude
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

6,36 ? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, und mir wäre es lieber, wenn du z.B. mal die HB vor der Ableitung aufschreiben würdest.

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Das gibt's doch garnicht!

A = a * b + (Pi * a²) / 2

A = a ( 10 - a/2 - Pi * a/4) + (Pi * a²) / 2

A = 10a - a²/2 - (a² * Pi) / 4 + (a² * Pi) / 2


Soweit erstmal richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

A = a * b + (Pi * r²) / 2

A = a ( 10 - a/2 - Pi * a/4) + (Pi * r²) / 2

A = 10a - a²/2 - (a² * Pi) / 4 + (r² * Pi) / 2

Du hast am Ende das r einfach durch a ersetzt. Ich habe da erst mal das r wieder reingeschrieben.
Mit dem a muss es so heißen:

A = 10a - a²/2 - (a² * Pi) / 4 + ((1/2 a)² * Pi) / 2

Die beiden letzten Terme kannst du noch zusammenfassen.

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Dem kann ich jetzt nicht folgen...

Die Fläche für einen Kreis errechnet sich durch Pi * r²

Also ist die Formel für die Flächenberechnung meiner Zeichnung:

A = a * b + Pi * r²

bzw.

A = a * b + Pi * a²/2

bzw-

A = a * b + (Pi * a²) / 2


Wo ist mein Fehler?! verwirrt

Edit: Achso, ich hab ja nur ein Halbkreis!!!

Also

A = a * b + ((Pi * a²) / 2) / 2
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler ist, dass es ein Halbkreis ist. Augenzwinkern
Ich verbessere mal:

A = a * b + 1/2 Pi * r²

A = a * b + 1/2 Pi * (a/2)²

A = a * b + (Pi * (a/2)²) / 2

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, jetzt komm ich auf a = 10 aber du sagtest ja es ist in etwa 1/4 von meinem ersten Ergebnis. Ich werd die Aufgabe nochmal und nochmal rechnen bis ich irgendwas bei ~5 raus habe.. Big Laugh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. smile

Ich melde mich erst mal ab, will die Heute show sehen.
Danach schau ich noch mal ins Board.

Wink
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar! Danke schonmal für deine Hilfe und einen schönen Abend noch!


Also ich habe es jetzt nochmal gerechnet und komme wieder auf 10.

Ich fasse mal zusammen:


Nebenbedingung nach b aufgelöst:

b = - a / 2 - Pi * a /4 + 10


Hauptbedingung:

A = a * b + Pi * a² / 4


Einsetzen:

A = a (-a / 2 - Pi * a / 4 + 10) + Pi * a² / 4

A = -a² / 2 - a² / 4 * Pi + 10a + Pi * a² / 4

Die rot markierten kürzen sich gegenseitig weg, sodass ich folgendes erhalte:

A = -a² / 2 + 10a


Ableiten:

Ich hör hier erstmal auf abzutippen weil der Fehler wahrscheinlich schon vorher passiert ist?!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nicht genau hingeschaut:

Zitat:
A = a * b + (Pi * (a/2)²) / 2


Und somit:A = a (-a/2 - Pi*a/4 + 10) + (Pi * a²/4)/2

A = -a²/2 - Pi*a²/4 + 10a + Pi * a²/8

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, stimmt ja. Mein Fehler war das ich nur den Zähler quadriert habe und nicht den gesammten Bruch.

Also nochmal von vorne... smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine kleine Zwischenfrage smile

Darf ich die rot markierten Brüche in folgender Gleichung zusammenfassen? (Natürlich unter Berücksichtigung des gleichen Nenners?)

A = -a²/2 - a²/8 * Pi + 10a

...würde ergeben:

A = -5a²/8 * Pi + 10a
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du könntest -a²/2 ausklammern, aber wozu? verwirrt

So, wie du es gemacht hast, geht es aber nicht.

smile
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht wegem dem Pi?

//Edit: Ok, habs mal ausprobiert - war quatsch... smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JohnA
Es geht nicht wegem dem Pi?


Genau. Du könntest höchstens ausklammern, aber dann wird das Ableiten komplizierter, und wozu soll man sich das Leben unnötig schwer machen? Augenzwinkern
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Ableitung:

A' = -a / 4 * Pi - a + 10

?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist richtig. Freude
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Schonmal nicht schlecht - steh trotzdem noch auf dem Schlauch - krieg es nicht umgestellt.

Vielleicht ist es einfach zu spät smile

Ich probiere noch ein bisschen, wenn nicht geht's morgen weiter smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du bist dicht davor. Freude

Ich melde mich auch mal ab. Wir können den Rest morgen machen.

Bis denn. Wink
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank für deine Mühen.

Bis dann! Wink
JohnA Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man!

Das hat eeeewig gedauert - ich hoffe es ist jetzt korrekt!

a = 5,60
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Na, da warst du aber noch eine Weile zugange... Augenzwinkern

Deine Mühen haben sich gelohnt: Die Lösung ist richtig. Freude


Ich hatte übrigens nach r umgestellt (da wollte ich dich zunächst ja auch hinbekommen), meine HB lautete: A(r) = 20r - 2r² - 1/2 pi r²
Zum Vergleich: A(a) = 10a - a²/2 - 1/8 pi a²

Der Vorteil bei A(a) war, dass das Problem mit den (pi*(a/2)²)/2 nicht aufgetreten ist, ansonsten ist der Unterschied nicht groß, da ja auch das Verhältnis direkt proportional ist (a = 2r).

smile
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