Archimedisches Axiom?

02.03.2012, 16:57

Gast11022013

Archimedisches Axiom?

Meine Frage:
Mal eine Frage zur Benutzung des Archimedischen Axioms im Zusammenhang zum Beispiel mit metrischen Räumen.

Wenn man einen metrischen Raum $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ hat und eine offene Menge $\begin{eqnarray*} O\subseteq X \end{eqnarray*}$ , die in einer Menge $\begin{eqnarray*} U\subseteq X \end{eqnarray*}$ enthalten ist, also $\begin{eqnarray*} O\subseteq U \end{eqnarray*}$ .

Sei dann $\begin{eqnarray*} x\in O \end{eqnarray*}$ .

Kann man dann argumentieren, daß die offenen Kugeln um den Punkt x mit den Radien $\begin{eqnarray*} 1/n, n=1,2,... \end{eqnarray*}$ in U enthalten sind, weil O eine offene Menge ist und das bedeutet, daß es für jeden Punkt von O ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodaß es eine entsprechende Epsilonkugel um den Punkt gibt, die in X enthalten ist.

Dann gilt ja das auch für jeden Punkt x in O, das heißt es gibt eine Epsilonkugel (für ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ) um x, die ganz in O enthalten ist, also in U.

Wegen des Archimedischen Axioms gibts aber zu jedem Epsilon aus den reellen Zahlen eine natürliche Zahl n, sodaß 1/n< epsilon

Und damit liegen die oben genannten Epsilonkugeln mit Radien 1/n insbesondere in O, also in U.

Meine Ideen:
...ist das der Grund, wieso man so häufig in Büchern die Radien 1/n, n=1,2,... gewählt findet?

EDIT: Sorry, da waren Schreibfehler drin, die jetzt korrigiert sind.

02.03.2012, 17:19

IfindU

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RE: Archimedisches Axiom?
Versteh ich dich richtig, dass du der Meinung bist, dass es um x immer eine Kugel mit dem Radius 1 liegt? Du kannst doch $\begin{eqnarray*} X = \mathbb{R}, O = B_{0.5}(0) \end{eqnarray*}$ wählen, und U = O oder minimal größer. Dann ist keine Kugel mit Radius 1 in U oder O vorhanden.

02.03.2012, 17:27

Gast11022013

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RE: Archimedisches Axiom?
Ich glaube, Du hast mich missverstanden.

Es geht mir um folgende Behauptung:

In einem metrischen Raum bilden die offenen Kugeln um x mit den Radien 1/n, n=1,2,... eine Umgebungsbasis von x.

Dafür muss man zeigen, daß diese Kugeln ein Teilsystem des Umgebungssystems von x sind und dass jede dieser Kugeln in einer Umgebung von U, die in dem Umgebungssystems ist, liegt.

Ersteres erkläre ich mir so:
In dem Umgebungssystem liegen doch insbesondere alle offenen Mengen, die x enthalten, also auch die offenen ugeln um x mit Radius 1/n, n=1,2,...

Letzteres bedeutet, daß jede der genannten Epsilonkugeln in einer Teilmenge von X liegen muss, die eine offene Menge als Teilmenge hat.

Und darum ging meine Frage:

Wenn man eine offene Menge O hat, die Teilmenge einer Menge des Umgebungssystems ist (diese heiße etwa U), bedeutet das doch, daß man für jeden Punkt von O ein gewisses epsilon > 0 hat, sodaß die offene Kugel um den Punkt mit diesem Radius in O liegt. Dann gibt es doch aber irgendein n in den natürlichen Zahlen, sodaß insbesondere die Kugel mit Radius 1/n in O liegt.

Das war meine Frage.

Wenn also x in O liegt, gibts per definition der Offenheit von O ein epsilon>0, sodaß die epsilonkugel in O liegt, dann doch aber insbesondere eine der Kugeln mit Radius 1/n.

Also gibts doch zu jedem U im Umgebungsssystem ein Kugel mit Radius 1/n die in U liegt.

02.03.2012, 17:43

IfindU

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RE: Archimedisches Axiom?
Umgebungsbasis bedeutet man hat genug kleine Umgebungen, denn das ist das wofür man sich interessiert. Was du zeigen willst ist also, dass du für jede offene Umgebung einen Ball als Umgebung findest, der in dieser Umgebung liegt. Da jede Umgebung offen ist, gibt es um x einen Radius, so dass die Kugel noch komplett drin liegt. Daher bilden alle Kugeln eine Umgebungsbasis von x. Mit Archimedes lässt sich dann leicht zeigen, dass abzählbar viele Bälle reichen.

Zitat:

Dafür muss man zeigen, daß diese Kugeln ein Teilsystem des Umgebungssystems von x sind und dass jede dieser Kugeln in einer Umgebung von U, die in dem Umgebungssystems ist, liegt.

Eine Menge ist offene Umgebung von x, wenn sie offen ist und x enthält (damit sind offene Bälle um x offene Umgebung). Trivialerweise ist X selbst Umgebung von x, damit liegt jede Kugel/Teilmenge von X in einer Umgebung.

Ich fürchte ich versteh dich nicht wirklich.

02.03.2012, 17:43

Gast11022013

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RE: Archimedisches Axiom?
Sorry fürs viele Editieren, jetzt bléibt der letzte Beitrag so, wie er ist. :-)

02.03.2012, 18:00

Gast11022013

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RE: Archimedisches Axiom?
Ich versuchs nochmal:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ das Umgebungssystem von $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}(x) \end{eqnarray*}$ die Menge aller offenen Kugeln um $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ mit den Radien $\begin{eqnarray*} 1/n, n=1,2,... \end{eqnarray*}$ .

Zunächstmal ist doch zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}(x) \end{eqnarray*}$ ein Teilsystem ist von $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ . Das ist klar, weil offene Mengen doch Umgebung jeder ihrer Punkte sind.

Für ein $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ gilt ja, daß es eine offene Menge Q gibt, sodaß
$\begin{eqnarray*} x\in Q\subseteq U \end{eqnarray*}$ und bei offenen Mengen wählt man eben das Q als diese offene Menge selbst. Also sind die offenen Kugeln (z.B. mit Radien 1/n, n=1,2,...) in $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ .

So und jetzt ist noch zu zeigen, daß es für jedes $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(x) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} B\in\mathcal{B}(x) \end{eqnarray*}$ (also eine Kugel mit Radius 1/n für irgendein n um den Punkt x) mit $\begin{eqnarray*} B\subseteq U \end{eqnarray*}$ .

Da ja nun immer ein $\begin{eqnarray*} Q\subseteq U \end{eqnarray*}$ vorhanden ist, reicht es doch, wenn man zeigt, daß $\begin{eqnarray*} B\in Q \end{eqnarray*}$ .

Im Allgemeinen gibt's eine Kugel um den Punkt x, da die Menge Q offen ist und damit ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodaß $\begin{eqnarray*} B(x,\varepsilon)\subseteq Q \end{eqnarray*}$ .

Insbesondere gibts dann ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodaß $\begin{eqnarray*} B(x,\frac{1}{n})\subseteq Q \end{eqnarray*}$ aufgrund des Archimedisaxiom.

So, habe ich das jetzt richtig verstanden? :-)

02.03.2012, 18:07

IfindU

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Da steht einmal B \in Q, was wohl B \subset Q heißen sollte, aber sonst stimmt es. Wobei sich mir die Frage stellt wie ihr Umgebungen definiert habt. Bisher habe ich nur offene Umgebungen gesehen, für nicht-offene wäre es auch falsch, denn $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ bildet eine "Umgebung" von $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , da sie x enthält, aber sie besitzt keine offene Kugel. Oder habt ihr Umgebung definiert mit: enthält x und besitzt eine offene Teilmenge mit x?

02.03.2012, 18:22

Gast11022013

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Ich habe mich an die Definition gehalten, wie sie im Boto von Querenburg gegeben ist:

Es sei $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein Punkt von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} U\subset X \end{eqnarray*}$ heißt Umgebung von x, wenn es eine offene Menge $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in O\subset U \end{eqnarray*}$ gibt.

02.03.2012, 19:35

IfindU

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Okay, die Definition hab ich vorher nie gesehen. Ist ein wenig allgemeiner als die man z.B. auf Wikipedia findet. Hatte mich nämlich gewundert warum du immer noch eine offene Menge in der Umgebung gewählt hast, aber nach dieser muss man es ja so tun.

02.03.2012, 19:54

Gast11022013

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Danke für Deine Hilfe.

Hat mir sehr geholfen.

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