Lage zweier Geraden - Was ist mein Fehler?

02.03.2012, 17:55	Lena1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Lage zweier Geraden - Was ist mein Fehler? Meine Frage: Huhu! Brauche dringend ein bisschen Hilfe bei folgender Aufgabe: Habe zwei Geraden gegeben: g: x= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und h: x= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und nun soll ich die Lagebeziehung dieser Geraden untersuchen. Dafür habe ich zunächst geschaut, ob die Richtungsvektoren der beiden Geraden linear abhängig, also Vielfache voneinander sind. Da dies nicht der Fall ist, kann ich parallel und identisch schonmal ausschließen, also muss ich sie ja gleichsetzen. Das sieht dann ja so aus: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danach habe ich die "drei Zeilen" in ein LGS geschrieben, also so: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 3+r=3+2s\\ 2+2r=4+5s \\ 4+3r=5+s \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich die erste Gleichung nach r aufgelöst und dafür r=2s erhalten. Danach habe ich Gleichung Nummer 2 nach s aufgelöst und dafür s= -2 erhalten. Im nächsten Schritt habe ich dann s in r eingesetzt, also so: $\begin{eqnarray} r= 2(-2) \end{eqnarray}$ . Dabei habe ich dann r=-4 rausbekommen. Im nächsten Schritt habe ich dann r= -4 und s= -2 in die dritte Gleichung eingesetzt und dafür -8=3 erhalten. Das bedeutet ja, dass das LGS mit 2 Unbekannten nicht lösbar ist, also sind die Geraden windschief. Danach habe ich dieselbe Aufgabe dann per Taschenrechner ausgerechnet. Habe dann zunächst das LGS so "sortiert", dass alle Variablen auf einer Seite und alle Zahlen auf einer Seite stehen, das sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} r-2s=0\\ 2r-5s=2\\ 3r-s=1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich es als Matrix in den GTR eingetippt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & -5 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und das Ergebnis sah dann so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das würde ja bedeuten: r=0, s=0 und 0=1, es ist zwar dieselbe Lagebeziehung, also windschief, rausgekommen, aber wieso habe ich per Hand r= -4, s=-2 und -8=3 erhalten und mit der Matrix r=0, s=0 und 0=1?? Wo ist mein Fehler? Da müsste doch eigtl. das selbe rauskommen, oder? Ich wäre sehr dankbar über eine Antwort, da es wirklich sehr dringend ist! Liebe Grüße!
02.03.2012, 18:25	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja bereits selbst festgestellt, daß die Ergebnisse für r und s keine Lösungen des gesamten Gleichungssystems sind. Wenn Du sie aus den letzten beiden Gleichungen ermittelt hättest, hättest Du auch andere Werte erhalten. Der Taschenrechner zeigt "falsche Lösungen" erst gar nicht an.
02.03.2012, 18:36	Lena1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank! Also habe ich gar keinen Fehler gemacht? Wenn die Gerden sich schneiden würden, dann müsste bei der Matrix aber das gleiche rauskommen, oder? Und wie verhält sich das bei parallel und identisch?
02.03.2012, 18:54	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Du hast keinen Fehler gemacht. Du hast sogar daran gedacht, mit der dritten Gleichung eine Probe zu machen. Wenn sich die Geraden schneiden, muß bei der Matrix auch das selbe Ergebnis herauskommen. (Oder der TR bzw. Du hätte sich verrechnet.) Bei identischen Geraden bekommst Du unendlich viele Lösungen, der TR gibt sie z.B in der Form r=2s an: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Parallele Geraden unterscheiden sich bei der Lösung des Gleichungssystems nicht von windschiefen Geraden. Die Prüfung auf lin. Abhängigkeit ist also dann immer erforderlich.
03.03.2012, 17:58	Lena1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank! Jetzt hab ich's verstanden! Liebe Grüße!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »