Eigenwert und Eigenvektor mit komplexen Zahlen

02.03.2012, 18:59	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert und Eigenvektor mit komplexen Zahlen So Ich hab hier folgende Aufgabe, weiß allerdings nicht wie mein lieber Professor auf seine Lösung gekommen ist. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen Gegeben ist folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmt werden sollen Eigenwert und Eigenvektor Mein Ansatz Den Eigenwert berechne ich ja ganz einfach deswegen hier einfach mal das charakt. Polynomm und die Eigenwerte Polynom: $\begin{eqnarray} \lambda^{2} +4 \end{eqnarray}$ entsprechende Eigenwerte: $\begin{eqnarray} \lambda_1=2i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_2=-2i \end{eqnarray}$ Bis hierhin kein Problem. Wenn ich nun z.B.den Vektor für $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray}$ berechnen will, komme ich nicht weiter bzw. nicht auf die richtige Lösung: Meine Matrix sind dann ja wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2i & 2 \\ -2 & 2i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ entsprechend erhalte ich ja dann folgende Gleichungssysteme zur Berechnung des Eigenvektors: $\begin{eqnarray} 2iv_{1}+2v_{2}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2v_{1}+2iv_{2}=0 \end{eqnarray}$ Ich habe jetzt einfach eine Zeile nach $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ hin umgestellt und in die entsprechend andere eingesetzt. Dadurch erhalte ich aber (was ja an sich irgendwo logisch ist) $\begin{eqnarray} v_{1}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2}=0 \end{eqnarray}$ Scheinbar mach ich hier ja grundlegend was falsch!? VIELEN DANK SCHONMAL FÜR EURE MÜHEN
02.03.2012, 19:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert und Eigenvektor mit komplexen Zahlen Wenn du eine Glecihung nach einem v_i auflöst und in die andere einsetzt erhälst du eigentlich nicht v_1=v_2=0, sondern dann sollte dort 0=0 stehen, einmal vor gemacht: $\begin{eqnarray} 2iv_1+2v_2=0 \Rightarrow v_2=-iv_1 \end{eqnarray}$ Eingesetzt in die zweite Glecihung: $\begin{eqnarray} -2v_1+2v_1=0 \end{eqnarray}$ ist sicherlich richtig, für jedes v_1... Was bedeutet das also? Die beiden Zeilen der Matrix sind linear abhängig (ist auch klar, denn ansonsten gäbe es nur die Lösung v_1=v_2=0, das kann aber nicht sein, da die Determinante verschwindet und die Matrix damit nicht den vollen Rang hat). Also eine unebkannte parametrisieren.
02.03.2012, 19:16	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmmmh wird dann nicht 2/2 zu 1??? In meiner Lösung steht auf jedenfall für den v1=(1,i)T Geht also ohne Parameter
02.03.2012, 19:23	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es geht nicht ohne Parameter. Ein Eigenvektor spannt einen Raum auf, ist v ein Eigenvektor, dann ist auch jedes Vielfache ein Eigenvektor. Wie gesagt, nach der Auflösungsmethode, die du verwendet hast sieht man, dass v_1 beliebig wählbar ist, die eine Gelcihung stimmt immer. Was nun, wenn du v_1 auch tatsächlich beliebig wählst? Dann sollte da schon was brauchbares herauskommen.... (aber wirklich beliebig, und das bedeutet parametrisieren). Das Ergebnis ist eine Gerade, der Eigenraum zum Eigenwert 2i, jeder Vektor in Geradenrichtung ist ein Eigenvektor. Wenn di die Gerade hast kannst du einen beliebigen Eigenvektor angeben. Analog kann man (wenn man nur an einem Eigenvektor interressiert ist) v_1 fest wählen um auf eine spezielles Element des Kerns von (A-xI) zu kommen.
02.03.2012, 19:51	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay komisch, dass unser Professor da keine Variable mit beigeschrieben hat
02.03.2012, 20:05	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist häufig so, wenn es nur darum geht, eine Basis des Eigenraums eines Eigenwertes zu bestimmen. Hast du denn nun ein Ergebnis?
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02.03.2012, 21:30	Zeberuus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja v1=v2=( 1 ) sorry kann den formeleditor gerade nich benutzen .................( i )

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