Randpunkt - Berührpunkt

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Randpunkt - Berührpunkt
Meine Frage:
Verständnisfrage:

Sei ein topologischer Raum, .

Ein Punkt heißt Randpunkt von , wenn jede seiner Umgebungen einen nicht-leeren Schnitt mit sowie mit dem Komplement von hat.

Ein Randpunkt von , der nicht in liegt, heißt Berührpunkt.


Wie kann denn ein Punkt x Randpunkt von A sein und nicht in A liegen?
Gibt es dann nicht eine Umgebung von x, die einen leeren Schnitt mit A hat?




Meine Ideen:
Irgendwie passt das nicht so zu dem, was ich bisher kenne von metrischen Räumen (und die sind ja immerhin mit der durch die Metrik induzierten Topologie) auch topologische Räume:


bei metrischen Räumen kenne ich den Begriff Randpunkt sehr ähnlich: ein Punkt x heißt Randpunkt von A, wenn jede Umgebung von x nicht-leeren Schnitt mit A, als auch mit dem Komplement von A hat. Aber wenn x nicht in A liegt, findet man doch eine Umgebung (Umgebung U von x in metrischen Räumen: Wenn es eine offene Kugel um x gibt, die in U liegt), die nicht A schneidet...


Bin gerade etwas verwirrt, wie man das zu verstehen hat..
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Die Randpunkt des Intervalls (0,1) liegen nicht im Intervall.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind Berührpunkte Punkte, deren sämtliche Umgebungen sowohl mit A als auch mit dem Komplement von A nicht leeren Schnitt haben, aber nicht in A liegen.


Aber es gibt noch eine andere Definition von Berührpunkten, oder?
Punkte, deren Umgebngen mit A nichtleere Schnitte haben.

(Oder ist das die gleiche Definition?)
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Randpunkte die nicht in der Menge liegen, sind nur ein spezielles Beispiel für Berührpunkte. Ich kenne aufh nur die Definition für Berührpunkt aus deinem 2. Absatz.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man den Abschluss bilden soll, ist das ja die Menge aller Berührpunkte.


Kann man auch sagen: Der Abschluss ist die Vereinigung von Innerem und Rand?

Oder gilt das nur für metrische Räume?
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Versuchs doch mal für nen allgemeinen topologischen Raum zu beweisen.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung:





Sei . Dann ist der Schnitt aller Umgebungen von a mit A nicht leer ist, d.h. und für ein .

Hm, wie folgt jetzt, daß a im Inneren oder im Rand von A ist (oder eben nicht..)?
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Was folgt denn daraus, wenn a im Abschluss aber nicht im Rand liegt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a nicht im Rand läge, wäre es nicht erfüllt, daß die Schnitte der Umgebungen mit A nichtleer sind und die Schnitte der Umgebungen mit dem Komplement von A nichtleer sind.


Wenn a im Abschlus liegt, sind jedenfalls die Schnitte der Umgebungen von a mit A nichtleer. Also müssten dann die Schnitte der Umgebungen von a mit dem Komplement von A nicht leer sein.

Aber da weiß man ja nichts drüber, oder?
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a nicht im Rand liegt, dann ist die Bedingung dass a im Rand liegt nicht erfüllt, d.h es gibt eine Umgebung von a mit... oder ...

Eines der ... kann nicht eintreten und aus dem anderen folgt, dass a im Inneren liegt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, a liegt im Abschluss, jedoch nicht im Rand von A.

Dann gibts eine Umgebung U von a, für die gilt, daß oder .

Ersteres gilt nicht, da a im Abschluss liegt.

Also gilt .

a kann also nur in A liegen und da U ja nun eine Umgebung von a ist, gibts ein , was bedeutet, daß A Umgebung von a ist. Also liegt a im Inneren von A.
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Jop!

Hast du nicht geschrieben, aber dir sollte klar sein, dass U Teilmenge von A sein muss.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das ergänzt mit der Teilmenge, danke.


Und die Rückrichtung...

Sei .

Da würde ich einfach sagen:

Fall 1: . Dann ist insbesondere , also .

Fall 2: , dann ist A also Umgebung von a, d.h. es ex. , also . Jetzt müsste ich bloß noch zeigen, daß a auch in allen anderen Umgebungen von a enthalten ist. Aber das ist ja eigentlich klar, denn wenn U irgendeine andere Umgebung von a ist, dann gilt ja auch hier, daß es ein gibt, sodaß . Das heißt und ebenso für alle anderen Umgebungen von . Also sind die Schnitte aller Umgebungen von a mit A nichtleer, denn alle enthalten den Punkt a.

Also ist auch in diesem Fall .
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gilt tatsächlich

, wie ich es von den metrischen Räumen her schon wusste.

Dann verstehe ich nicht, wieso die Autoren das da nicht auch bei topologischen Räumen hinschreiben... unglücklich

Naja, jedenfalls danke ich Dir sehr.
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