durchschnittlicher Funktionswert vs. erste Ableitung

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02.03.2012, 19:57	wurzel_sepp	Auf diesen Beitrag antworten »
durchschnittlicher Funktionswert vs. erste Ableitung Hallo miteinander, ich arbeite mit Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion, diese sind konkave mit den Eigenschaften u(x)>0 u'(x)>0 u''(x)<0 fuer alle x>0 In einem Paper habe ich gelesen, das der Zusammenhang [u(x)/x] > u'(x) gilt (leider ohne jegliche Referenz) Hierzu braeuchte ich eine weiterfuehrend Quelle, leider finde ich nichts. (Diese Quelle muss sich nicht im speziellen auf N-M-Funktion beziehen, eine Quelle die allgemein den Zusammenhang zwischen Durschnittlichem Funktionswert an einer Stelle und der ersten Ableitung an jener diskutiert reicht mir vollkommen aus) Desweiteren muesste doch dann auch gelten [u'(x)/x]>-u''(x) Schon mal vielen Dank
02.03.2012, 22:25	bensa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi wurzel_sepp, also wenn du deine Bedingung umstellst, kann man diese vllt. besser interpretieren: $\begin{eqnarray} U(x)>U'(x)x \end{eqnarray}$ () $\begin{eqnarray} U'(x) \end{eqnarray}$ bezeichnet ja so eine Art Nutzenänderung, wenn man eine Einheit mehr konsumiert. Diese Nutzenänderung multipliziert mit der konsumierten Menge bezeichnet also eine Art lineare Approximation für die gesamte Nutzenänderung, bei Mehrkonsum von x. () sagt jetzt, dass diese lineare Approximation immer kleiner sein soll, als das absolute Nutzenniveau bei der Menge x. Ich würde übrigens nicht sagen, dass $\begin{eqnarray} \frac{U(x)}{x} \end{eqnarray}$ ein durchschnittlicher Funktionswert ist. $\begin{eqnarray} \frac{U(x)}{x} \end{eqnarray*}$ ist ja einfach nur das Verhältnis von Funktionswert zu Argument. Ein durchcshnittlicher Funktionswert, wäre vllt. ein Mittelwert von Funktionswerten einer Funktion.... Gruß bensa P.S.: Sry, mit einer Quelle kann ich leider nicht weiterhelfen
02.03.2012, 22:41	bensa	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, und wie kommst du darauf ?: [u'(x)/x]>-u''(x)
02.03.2012, 23:32	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Sepp, Dies ist bloss als eine kleine Anwendung des Mittelwertsatzes. Der MWS dürfte bekannt sein (?). Die Ungleichung kannst du ja gleich selbst herleiten: Verwende, dass $\begin{eqnarray} \xi\mapsto u'(\xi) \end{eqnarray}$ streng monoton fallend ist und $\begin{eqnarray} \frac{u(x)}{x} \ge \frac{u(x) - u(0)}{x-0} \end{eqnarray}$ aufgrund der Nichtnegativität von u(0).
02.03.2012, 23:47	wurzel_sepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo bensa, erstmal vielen Dank. Ganz klar $\begin{eqnarray} u(x)/x \end{eqnarray}$ ist nicht der Durchschnittswert, da habe ich mich falsch ausgedrueckt. Ich habe es einfach nicht gesehen, die Aussage von $\begin{eqnarray} u(x)>u(x)'x \end{eqnarray}$ sagt ja eigentlich nicht mehr als das wenn ich am Punkt x noch x konsumiere, dann muss der (approximierte) zusaetzliche Nutzen, $\begin{eqnarray} u(x)'x \end{eqnarray}$ geringer sein als der Nutzen u(x) den ich durch den Konsum er ersten x habe. Was ja die eigentlich aussage einer konkave Nutzen funktion ist. Jetzt zu $\begin{eqnarray} u'(x)>-u(x)''x \end{eqnarray}$ Ich habe es fuer ein paar konkrete funktionen geplottet, hat immer gestimmt, aber ich denke die allgemeine Aussage gilt nur, wenn ich die 3.Ableitung kennen wuerde $\begin{eqnarray} u'''(x) \end{eqnarray}$ , oder? Weil ja $\begin{eqnarray} u(x)>u(x)'x \end{eqnarray}$ auch nur deswegen gilt, weil $\begin{eqnarray} u''(x)<0 \end{eqnarray}$ , und ich ergo deswegen weiss das $\begin{eqnarray} u'(x) \end{eqnarray}$ mit groesserm x abnimmt. Aber ueber $\begin{eqnarray} u''(x) \end{eqnarray}$ weis ich ja nur das es fuer jedes x negative ist, nicht aber wie es sich mit x veraendert. Schade es hat zu so schoenen Ergebnisen gefuehrt, aber ich habe es mir schon gedacht.....
03.03.2012, 00:26	wurzel_sepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi gonnabphd, auch Dir vielen Dank. Finde es super wie schnell hier geantowert wird!!!!
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03.03.2012, 01:43	bensa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich denke auch, dass bei deiner 2ten Bedingung $\begin{eqnarray} -u''(x) \end{eqnarray}$ monoton fallend sein muss ( und dafür musst du $\begin{eqnarray} u'''(x) \end{eqnarray}$ kennen), damit du auch bei der 2ten Bed. wie von gonnabphd angesprochen vorgehen kannst. Gruß bensa
04.03.2012, 19:41	wurzel_sepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo gonnabphd, ich glaube ich habe es jetzt verstanden, also $\begin{eqnarray} u(x)/x \geq (u(x)-u(0))/(x-0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x)-u(0)/(x-0)=u'(y) \end{eqnarray}$ nach dem MWS mit $\begin{eqnarray} y\in ]0,x[ \end{eqnarray}$ und weil $\begin{eqnarray} u'(x) \end{eqnarray}$ monton fallend ist folgt aus $\begin{eqnarray} y<x \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} u'(y)>u'(x) \end{eqnarray}$ Ergo, $\begin{eqnarray} u(x)/x \geq u'(y)>u'(x) \end{eqnarray}$ Oder?
04.03.2012, 21:46	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop.
07.03.2012, 08:12	wurzel_sepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi gonnabphd, hi bensa, wollte abschliessend einfachr nochmal kurz DANKE! sagen und sichergehen das ist wisst, dass eure Arbeit sehr geschaetzt wird. Gruesse Sepp
07.03.2012, 10:05	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi wurzel_sepp, Bitte. Speziell wenn der Fragesteller auch Eigeninitiative/Motivation mitbringt, dann immer gerne. Grüsse

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