Eigenfunktion der Poissongleichung

02.03.2012, 19:58

franziskar

Eigenfunktion der Poissongleichung

Hallo Zusammen

Ich habe folgendes Problem, bei welchem ich einfach nicht mehr weiterkomme.

Gegeben sei die Poissongleichung als 1D-Dirichlet-Randwertproblem:

$\begin{eqnarray*} -u''(x) = f(x)\ \ \ \forall x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} u(x) = 0\ \ \ \forall x \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ .

Das kann wie folgt als Eigenwertproblem formuliert werden:

$\begin{eqnarray*} -u''(x)-\alpha u(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} u=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ und weiteren Schritten erhalte ich als Lösung

$\begin{eqnarray*} u(x) = c_{1}\cos(\sqrt{\alpha}x)+c_{2}\sin(\sqrt{\alpha}x) \end{eqnarray*}$ .

Nun zu meinem ersten Problem:
Setze ich die Randbedingungen in die obige Gleichung ein, erhalte ich für $\begin{eqnarray*} c_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2} \end{eqnarray*}$ 0, was für mich eigentlich keinen Sinn macht. Dabei habe ich es bewusst gerechnet; also jeden einzelnen peinlichen Schritt aufgeschrieben.

Mein zweites Problem:
In den Lösungen steht: Man bestätigt "relativ leicht" (!), dass die EW und EV des Randwertproblems gegeben sind durch

$\begin{eqnarray*} \lambda_{k} = k^{2}\pi^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{k}(x) = sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$ .

Diese relativ leichte Bestätigung gelingt mir nicht. Vielleicht bin ich ja einfach zu blöd für das smile

.

Ich wäre sowas von Dankbar für eine Hilfe in dieser Sache.

Grüsse
F.

03.03.2012, 11:12

Huggy

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RE: Eigenfunktion der Poissongleichung

Zitat:

Original von franziskar
Setze ich die Randbedingungen in die obige Gleichung ein, erhalte ich für $\begin{eqnarray*} c_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2} \end{eqnarray*}$ 0, was für mich eigentlich keinen Sinn macht.

Wie kommst du darauf? Daraus ergibt sich wegen $\begin{eqnarray*} u(0)=0 \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} c_1=0 \end{eqnarray*}$ . Beachte, in der Randbedingung steht die Menge $\begin{eqnarray*} \{ 0, 1\} \end{eqnarray*}$ und nicht das Intervall $\begin{eqnarray*} (0, 1) \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} u(1)=0 \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt \alpha =k \pi \end{eqnarray*}$

d. h.

$\begin{eqnarray*} \alpha = k^2 \pi^2 \end{eqnarray*}$

03.03.2012, 12:47

franziskar

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Hallo Huggy

Vielen Dank für den Input. Also wenn ich in

$\begin{eqnarray*} u(x) = c_{1}\cos(\sqrt{\alpha}x)+c_{2}\sin(\sqrt{\alpha}x) \end{eqnarray*}$

die RB einsetze erhalte ich für

$\begin{eqnarray*} u(0):\ \ \ 0 = c_{1}*1+c_{2}*0 \end{eqnarray*}$

und daraus folgt $\begin{eqnarray*} c_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ . Soweit klar.

Für

$\begin{eqnarray*} u(1):\ \ \ 0 = c_{1}\cos(\sqrt{\alpha})+c_{2}\sin(\sqrt{\alpha}) \end{eqnarray*}$ ,

und somit $\begin{eqnarray*} 0 = c_{2}\sin(\sqrt{\alpha}) \end{eqnarray*}$ .

Mir ist jetzt klar, dass für alle $\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha} = k\pi \end{eqnarray*}$ diese Gleichung 0 wird. Wir interessieren uns ja auch für die alphas, also die EW. Was ist jetzt aber mit der Konstante $\begin{eqnarray*} c_{2} \end{eqnarray*}$ ?

In einer Lösung wird die Eigenfunktion als $\begin{eqnarray*} c\sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$ angegeben und in gewissen nur als $\begin{eqnarray*} \sin(k\pi x) \end{eqnarray*}$ .

Und theoretisch ist ja die Gleichung auch erfüllt, falls $\begin{eqnarray*} c_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\alpha} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Das ist der Grund, wie ich bei den Konstanten auf 0 kam.
Was verstehe ich immer noch nicht?

Vielen Dank im Voraus

03.03.2012, 15:28

Huggy

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Die allgemeine Lösung wird sich als unendliche Reihe ergeben:

$\begin{eqnarray*} u(x)=\sum_{k=1}^{\infty}c_k \sin {k \pi x} \end{eqnarray*}$

Mit den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ kann sie an die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ angepasst werden. Ist $\begin{eqnarray*} f(x)\equiv 0 \end{eqnarray*}$ , so sind alle $\begin{eqnarray*} c_k=0 \end{eqnarray*}$ .

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