Logistische Funktion - Wendepunkt

02.03.2012, 19:58

3rn3st0

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Logistische Funktion - Wendepunkt

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bräuchte Hilfe bei meiner Facharbeit, Thema: Modellierung von Wachstumsformen...
Bin in der Jgst. 12 und 15-Punkte-Kandidat, aber beim Logistischen Wachstum komme ich nicht mehr weiter. Ich betrachte die verschiedenen Eigenschaften, und bei der Logistischen Funktion ist ja auch der Wendepunkt äußerst interessant. Dafür brauche ich aber die 1. und 2. Ableitung der Logistischen Funktion, und da ich noch nie mit der Eulerschen Zahl gearbeitet habe, tue ich mich da ein bisschen schwer.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a*S}{a+(S-a)*e^{-b*S*x} } \end{eqnarray*}$ mit a als Ausgangswert und S als Schranke/Kapazität

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-a*S*(-b*S)*(S-a)*e^{-b*S*x} }{(a+(S-a)*e^{-b*S*x})^2 } \end{eqnarray*}$
hab ich mehr oder weniger durch Ausprobieren herausgefunden, weiß aber nicht, ob es stimmt.

02.03.2012, 21:09

Dopap

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da hast du dir was haariges rausgesucht.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac {(S-a)abS^{2}\cdot e^{-Sbx}}{(a+(S-a)e^{-Sbx})^2} \end{eqnarray*}$

die 2.te Ableitung =0 führt auf die Wendestelle

$\begin{eqnarray*} x_w=\frac {\displaystyle \ln (\frac {S-a}{a})}{bS} \end{eqnarray*}$

find ich aber so im Allgemeinen zu schwierig. Und ohne e-Funktion nicht zu schaffen...

02.03.2012, 21:21

3rn3st0

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Soll auch das Grande Finale der Fachabreit darstellen - meine betreuende Lehrkraft meinte, ich soll sowas am Ende noch raushauen - er traut mir das zu.

Also stimmt schonmal die erste Ableitung?
Dann müsste ich es bloß nochmal ableiten. Problem hierbei ist nur, dass ich nicht weiß, wie ich den quadrierten Nenner nun abzuleiten habe unglücklich

unglücklich

Dass ich die 2. Ableitung = 0 setze muss, weiß ich ja bereits.
Aber wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} x_{w} =\frac{ln(\frac{S-a}{a}) }{bS} \end{eqnarray*}$

Ausserdem sollte ja dann auch $\begin{eqnarray*} y_{w} =\frac{S}{2} \end{eqnarray*}$ sein, wie im Graphen der Funktion zu erkennen ist.

02.03.2012, 21:32

Dopap

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1.) vergleich mal beide Ableitungen. Gleich?

2.) vorerst ist f'(x) auch nur ein Bruch.

der Nenner ist ein Quadrat. ok. Aber es gibt zur Rettung die Kettenregel

$\begin{eqnarray*} h(x)= (g(x))^2 \Rightarrow h'(x)= 2(g(x))^1\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} y_w \end{eqnarray*}$ ist in Ordnung.

Das $\begin{eqnarray*} x_w \end{eqnarray*}$ dient erstmal zur Kontrolle.

Ausserdem: muss es in voller Allgemeinheit sein?

02.03.2012, 21:48

3rn3st0

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Würde es gerne in allgemeiner Form machen.

1.) Ja, stimmt überein.
2.) Wenn ich nur den Nenner ableite nach der Kettenregel ableite, komme ich auf $\begin{eqnarray*} 2a+(S-a)*e^{-SbX} *(2-bS) \end{eqnarray*}$
Kann sein, dass ich mich da voll verdattelt habe, wie gesagt, ich mache sowas zum ersten Mal unglücklich

unglücklich

Wenn das so nicht hinhaut, versuche ich vielleicht einfach mal, den Wendepunkt durch Gleichsetzen hinzubekommen. Also ich sehe ja, dass $\begin{eqnarray*} \frac{S}{2} \end{eqnarray*}$ der Ordinatenwert des Wendepunktes ist. Dadurch könnte ich $\begin{eqnarray*} \frac{S}{2} = f(x) \end{eqnarray*}$ setzen und nach x auflösen, um den Abszissenwert des Wendepunktes auszurechnen.

02.03.2012, 22:18

Dopap

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Zitat:

Original von 3rn3st0
Würde es gerne in allgemeiner Form machen.

gute Einstellung! viel Feind viel Ehr.

Zitat:

1.) Ja, stimmt überein.
2.) Wenn ich nur den Nenner ableite nach der Kettenregel ableite, komme ich auf $\begin{eqnarray*} 2a+(S-a)*e^{-SbX} *(2-bS) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(a+(S-a)e^{-SbX}) \cdot(S-a) e^{-Sbx}(-Sb) \end{eqnarray*}$ wäre richtig, trotzdem vergleichen!

Zitat:

.... Dadurch könnte ich $\begin{eqnarray*} \frac{S}{2} = f(x) \end{eqnarray*}$ setzen und nach x auflösen, um den Abszissenwert des Wendepunktes auszurechnen.

Gute idee

Freude

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02.03.2012, 22:35

3rn3st0

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Werde wohl den Weg mit S/2 = f(x) gehen, ansonsten ist mir das mit der 2. Ableitung zu heikel, habe eben herumprobiert und komme einfach nicht klar.

Dass $\begin{eqnarray*} y_{w}= \frac{S}{2} \end{eqnarray*}$ kann man ja aufgrund der Punktsymmetrie zum Wendepunkt einfach behaupten.

Meine Rechnung wäre nun:
$\begin{eqnarray*} \frac{S}{2} =\frac{Sa}{a+(S-a)*e^{-Sbx} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} = \frac{a}{a+(S-a)*e^{-Sbx} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+(S-a)*e^{-Sbx} = 2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (S-a)*e^{-Sbx} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{S-a}{a}*e^{-Sbx} = 1 \end{eqnarray*}$

und ab hier weiß ich nicht so recht, wie ich auf
$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln\frac{S-a}{a} }{bS} \end{eqnarray*}$ komme. Viel fehlt ja nicht mehr.

02.03.2012, 22:56

Dopap

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Zitat:

Original von 3rn3st0

$\begin{eqnarray*} \frac{S-a}{a}*e^{-Sbx} = 1 \end{eqnarray*}$

und ab hier weiß ich nicht so recht, wie ich auf
$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln\frac{S-a}{a} }{bS} \end{eqnarray*}$ komme. Viel fehlt ja nicht mehr.

hat dich der Mut verlassen? einfach weitermachen:

1.)mal $\begin{eqnarray*} e^{Sbx}\quad | \end{eqnarray*}$ bringt das nach rechts
2.) ln ...

Dein Lehrer hat recht, wenn er dir was zutraut!

02.03.2012, 23:04

3rn3st0

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So hatte ich weitergemacht, hatte aber das Gefühl, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{S-a}{a} =e^{-Sbx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\frac{S-a}{a} =Sbx ln (1) \end{eqnarray*}$ hier evtl. ein Fehler drin sein könnte. Da ln(1) = 0 ist, oder sehe ich da irgendwas falsch? Arbeite halt aktuell zum ersten mal mit dem natürlichen Logarithmus verwirrt

verwirrt

02.03.2012, 23:11

3rn3st0

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Sehe gerade, dass es nicht ln(1)=0 ist, sondern ln(e)=1.
Damit wäre mein Problem ja beseitigt...

$\begin{eqnarray*} ln\frac{S-a}{a} =Sbx ln (e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln\frac{S-a}{a} =Sbx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{ln\frac{S-a}{a} }{Sb} \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich mein gewünschtes Ergebnis.
So dann alles in Ordnung? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gott

02.03.2012, 23:17

Dopap

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habe ich so erwartet. Gut!

Bliebe noch das Problem mit $\begin{eqnarray*} x_w=... \end{eqnarray*}$

Da sprichst du nochmal mit deinem Lehrer drüber.

02.03.2012, 23:23

3rn3st0

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Das ist doch das allgemeine $\begin{eqnarray*} x_{w} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Ich denke das reicht, und die Herleitung über die ersten beiden Ableitungen wäre echt zu heftig für die 12. Klasse, zumal noch nicht einmal die Eulersche Zahl im Unterricht gefallen ist. böse

böse

02.03.2012, 23:25

3rn3st0

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Kann hier nicht editieren, daher sorry wg. Doppelpost.
Im Post oben drüber ist es natürlich nicht $\begin{eqnarray*} x_{w'} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} x_{w} \end{eqnarray*}$

02.03.2012, 23:32

Dopap

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1.) dann melde dich mal an...

2.) bisher war alles allgemein gehalten.

3.) solch kleinste Schreibfehler werden von uns am Board "interpoliert" d.h. als solche gar nicht wahrgenommen.

02.03.2012, 23:34

3rn3st0

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Anmelden tue ich mich dann wirklich mal, weil die Hilfe hier echt klasse war Gott

Gott

Hattest doch oben noch von einem Problem mit $\begin{eqnarray*} x_{w} =... \end{eqnarray*}$ geredet... Was meintest du denn damit?

02.03.2012, 23:46

Dopap

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Danke für das Kompliment smile

smile

aber, offen bleibt noch :

$\begin{eqnarray*} f''(x_w)=0 \end{eqnarray*}$

das hab ich ja zum Fortschritt der Rechnungen "spendiert".

02.03.2012, 23:53

3rn3st0

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Das war ja auch der Anfangsansatz...

Aber da ich die beiden Ableitungen nicht hinbekomme, genügt mir erstmal die Herleitung durch das Gleichsetzen mit S/2...
Natürlich ist das kein mathematisch korrekter Beweis, aber für meine Ansprüche reicht es wohl erstmal.
Die zweite Ableitung würde mich dennoch brennend interessieren!

03.03.2012, 00:42

Dopap

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$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac {(b^2a^2S^4-b^2a^3S^3)(e^{Sbx})^2-(b^2aSs^5-2b^2a^2S^4+b^2a 3S^3)(e^{Sbx})} {(a^3e^{Sbx})^3+(3a^3S-3a^3)(e^{Sbx})^2+(3aS^2-6a^2S+3a^3)e^{Sbx}+S^3 -3aS^2+3a^2S-a^3} \end{eqnarray*}$

hier am Board wird jeder bedient! kostet ja nix smile

smile

03.03.2012, 00:47

3rn3st0

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Heilige Sch**ße geschockt

geschockt

Das ist ja der reinste Wahnsinn Gott

Gott

Da bin ich aber froh, dass das über den einfacheren Weg doch geklappt hat. Wenn ich diese 2. Ableitung jetzt noch = 0 setzen muss, na dann Prost Mahlzeit unglücklich

unglücklich

Big Laugh

Ich werd mir die Ableitung mal rauskopieren und versuchen, nachzuvollziehen. Den Weg in die Facharbeit wird sie aber nicht finden. Hätte ja keinen Sinn, das einfach so reinzukopieren, und beim Kolloquium kann ich nichts dazu sagen, weil ich sie nicht selbst aufgestellt habe. traurig

traurig

Lehrer

Vielen Dank für deine ganz tolle Hilfe Freude

Freude

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