Differenzierbarkeit im R^n

02.03.2012, 20:32

Jan1988

Differenzierbarkeit im R^n

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zu den verschiedenen Arten der Differenzierbarkeit im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

1. Angenommen ich habe eine Funktion, für die alle partiellen Ableitungen in jedem Punkt existieren, die Ableitungen sind aber nicht stetig. Die durch die Ableitungen definierte Funktional-Matrix (=Jacobi-Matrix=Diffential) erfüllt aber die Gleichung für die totale Differenzierbarkeit nicht. Dann ist die Funktion "nur" partiell integrierbar.

2. Es ist alles wie bei 1., jedoch erfüllt die Funktional-Matrix A die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x+h) = f(x_0) + A * h + \lambda (h) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ \lambda (h)} { ||h||} = 0 \end{eqnarray*}$
Dann ist f total differenzierbar.

3. Es ist alles wie bei 1., jedoch sind die Ableitungen alle stetig. Dann ist f stetig (partiell) differenzierbar und dadurch auch automatisch total differenzierbar.

Sind diese Aussagen richtig?

Wenn ja wäre ich euch für kurze und möglichst einfache Beispiele, die jeweils nur genau einen der drei Punkte erfüllen, sehr dankbar!

Schon jetzt vielen Dank und beste Grüße! Wink

02.03.2012, 21:50

bensa

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HI Jan1988,

Also wenn du in 1. mit "die Gleichung für die totale Differenzierbarkeit" die Formel aus 2. meinst (diese Bedingung nenne ich mal (*) smile

) , stimmt 3. nicht, denke ich.

Denn wenn eine Funktion f stetig partiell differenzierbar ist und somit total differenzierbar, muss die Gleichung in 1. (=Formel aus 2., wegen (*)) auch gelten.

Gruß

bensa

03.03.2012, 17:35

Jan1988

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Oh, das war vielleicht etwas undeutlich formuliert. Sorry. Das sollte eigentlich drei verschiedene Fälle darstellen... Ich versuche es noch einmal Hammer

Es geht mir darum, den jeweiligen genauen Unterschied von "partiell differenzierbar", "total differenzierbar" und "stetig partiell differenzierbar" zu verstehen.

Also, ich untersuche drei verschiedene Funktionen:

1. Für die Funktion existieren alle partiellen Ableitungen in jedem Punkt, die Ableitungen sind aber nicht stetig. Die durch die Ableitungen definierte Funktional-Matrix (=Jacobi-Matrix=Diffential) erfüllt aber die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x+h) = f(x_0) + A * h + \lambda (h) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ \lambda (h)} { ||h||} = 0 \end{eqnarray*}$ nicht.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Funktion ist "nur" partiell differenzierbar.

2. Für diese Funktion existieren alle partiellen Ableitungen in jedem Punkt und die Ableitungen sind nicht stetig. Diesmal erfüllt die duch die Ableitungen definierte Funktional-Matrix (=Jacobi-Matrix=Diffential) die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x+h) = f(x_0) + A * h + \lambda (h) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{ \lambda (h)} { ||h||} = 0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Funktion ist total differenzierbar.

3.Für die Funktion existieren alle partiellen Ableitungen in jedem Punkt und die Ableitungen sind stetig.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Die Funktion ist stetig (partiell) differenzierbar und dadurch auch automatisch total differenzierbar.

Ist das so richtig?

Hat vielleicht jemand jeweils ein kurzes, einfaches Beispiel zur Hand? Das wäre spitze!!

Vielen Dank schonmal und schönen Abend! Wink

03.03.2012, 18:24

SusiQuad

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http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung

04.03.2012, 11:07

Jan1988

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Zitat:

Original von SusiQuad
http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung

Vielen Dank für diesen ausgesprochen hilfreichen Beitrag. verwirrt

Gibt es denn hier wirklich niemanden, der mal deutlich sagen kann:
"Ok, die Aussagen 1. bis 3. sind richtig. Du hast es verstanden." oder halt
"Nein, bei Aussage X hast du Sachverhalt Y leider falsch verstanden. Das muss so und so sein."

04.03.2012, 11:38

wischl

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So wie ich das sehe, sind alle drei Aussagen korrekt.

Genau dann, wenn eine Funktion differenzierbar ist, existiert (qua Definition) ein A, das die von dir genannte Gleichung erfüllt, und dieses A ist die Jacobi-Matrix. Das erklärt 1 und 2. 3 ist korrekt, weil stetig partielle Differenzierbarkeit totale Differenzierbarkeit impliziert.

Mit Beispielen kann ich leider nicht dienen.

05.03.2012, 06:26

SusiQuad

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Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit

$\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ Total differenzierbare Funktionen sind stetig.
$\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar.
$\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und dann auch nicht total differenzierbar.
$\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar.

Hätte ich es so machen sollen ?

05.03.2012, 09:02

tmo

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Da die Implikationen 3 --> 2 --> 1 gelten, kann man natürlich kein Beispiel dafür geben, dass z.b. nur 3 erfüllt.

Aber man kann zeigen, dass die Implikationen echt sind.

Z.b. ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, (x,y) \mapsto (x^2+y^2)\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) \end{eqnarray*}$ (mit stetiger Fortsetzung $\begin{eqnarray*} f(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ ) total diffbar, aber nicht stetig total diffbar. (Die Jakobimatrix ist nicht stetig im Nullpunkt)

Ein Beispiel für eine Funktion, die partiell aber nicht total diffbar ist, findet man eigentlich relativ schnell selbst.

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