Basis einer Topologie (Folgerungen)

02.03.2012, 23:56

Gast11022013

Basis einer Topologie (Folgerungen)

Meine Frage:
Ich möchte gerne Folgendes zeigen:

Zitat:

B.v.Querenburg: "Mengentheoretische Topologie", 3. Auflage, S. 23
[...]
(b) Ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ eine Basis einer Topologie auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , so gilt:

(1) Die Vereinigung aller Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

(2) Der Durchschnitt zweier Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ ist Vereinigung von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
(1) Zeige $\begin{eqnarray*} \bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X \end{eqnarray*}$ .

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ": Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{O} \end{eqnarray*}$ diejenige Topologie, deren Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ ist. Sei $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} X\in\mathcal{O} \end{eqnarray*}$ , kann man $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als Vereinigung von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ schreiben. Also ex. ein $\begin{eqnarray*} B'\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} x\in B' \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} x\in\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B \end{eqnarray*}$ .

" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ": Sei $\begin{eqnarray*} y\in\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} y\in B' \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} B'\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} B'\in\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O}\subseteq X \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} y\in X \end{eqnarray*}$ .

(2) Seien $\begin{eqnarray*} B,B'\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ . Muss ich nun zeigen:

$\begin{eqnarray*} B\cap B'=\bigcup_{i\in I}B_i, B_i\in\mathcal{B}~\forall~i\in I \end{eqnarray*}$ ?

03.03.2012, 01:53

IfindU

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RE: Basis einer Topologie (Folgerungen)
Damit wir diesmal besser starten:
Eine Basis ist eine Teilmenge der Topologie auf X, s.d. jede andere offene Menge als Vereinigung von Mengen aus der Basis geschrieben werden kann.

Stimmt die Definition diesmal überein? Augenzwinkern

Edit: Weil ich gleich schlafen gehe:
1) $\begin{eqnarray*} "\supseteq" \end{eqnarray*}$ : X ist offen bzgl. jeder Topologie auf X,
$\begin{eqnarray*} "\subseteq" \end{eqnarray*}$ : Mengen in der Basis sind Teilmengen von X, also hat man das sofort
2) Der Schnitt zweier offenen Mengen ist offen.

03.03.2012, 11:07

Gast11022013

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RE: Basis einer Topologie (Folgerungen)

Zitat:

Original von IfindU

Stimmt die Definition diesmal überein?

Ja, diesmal meinen wir das Gleiche.

Zitat:

Original von IfindU

1) $\begin{eqnarray*} "\supseteq" \end{eqnarray*}$ : X ist offen bzgl. jeder Topologie auf X,
$\begin{eqnarray*} "\subseteq" \end{eqnarray*}$ : Mengen in der Basis sind Teilmengen von X, also hat man das sofort

Das habe ich m.E. oben also richtig gemacht.

Zitat:

Original von IfindU

2) Der Schnitt zweier offenen Mengen ist offen.

Okay, das leuchtet mir ein. Danke.

Dazu aber nochmal eine andere Frage: Oft habe ich auch gelesen:

Seien $\begin{eqnarray*} B,B'\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall~x\in (B\cap B'): \exists~B''\in\mathcal{B}: x\in B''\subseteq (B\cap B') \end{eqnarray*}$

Inwiefern ist dies eine andere (äquivalente) Formulierung von (2)?

03.03.2012, 13:11

I Love Topo

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RE: Basis einer Topologie (Folgerungen)

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} B,B'\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall~x\in (B\cap B'): \exists~B''\in\mathcal{B}: x\in B''\subseteq (B\cap B') \end{eqnarray*}$ (2')

Inwiefern ist dies eine andere (äquivalente) Formulierung von (2)?

(2) => (2')

Sei $\begin{eqnarray*} x\in B\cap B' \end{eqnarray*}$ , d.h. nach Voraussetzung (2), $\begin{eqnarray*} x\in \bigcup_{i\in I}B_i \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x\in B_{i_0} \end{eqnarray*}$ für (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} i_0\in I \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} B'':=B_{i_0} \end{eqnarray*}$ . Offensichtlich $\begin{eqnarray*} B''\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in B''\subseteq (B\cap B') \end{eqnarray*}$ .

(2') => (2)

Für $\begin{eqnarray*} B,B'\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ sind zu finden $\begin{eqnarray*} \{B_i\}_{i\in I} \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} B\cap B'=\bigcup_{i\in I}B_i \end{eqnarray*}$ .

Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in B\cap B' \end{eqnarray*}$ gibt es nach Voraussetzung (2') ein $\begin{eqnarray*} B''(x) \subseteq (B\cap B') \end{eqnarray*}$ , in dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegt. Die Vereinigung $\begin{eqnarray*} \bigcup_{x\in B\cap B'}B''(x)=B\cap B' \end{eqnarray*}$ ist genau die aus (2).

03.03.2012, 13:23

Gast11022013

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Wow, dankeschön. Sogar gleich mit Beweis.

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