Sicherheitswahrscheinlichkeit

03.03.2012, 17:38

Ulliii

Sicherheitswahrscheinlichkeit

Hallo zusammen, meine Aufgabe lautet wie folgt:

"Mache eine Prognose, in welchen Bereich das Ergebnis mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90% auftritt.
a) Anzahl der Wappen beim 400-fachen Münzwurf
b) Anzahl der Würfel mit Augenzahl 6 beim 720-fachen Würfeln."

Ich weiss hier irgendwie gar nicht genau, was ich überhaupt berechnen soll traurig

Hat es was mit diesen Vertrauensintervallen zu tun? verwirrt

03.03.2012, 18:52

Dopap

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oder man sagt Irrtumswahrscheinlichkeit von 10%.

von den möglichen Ergebnissen, Trefferanzahl = {0,1,2,3,...,400} nimmt man links und Rechts jeweils soviel weg, dass deren Wkt $\begin{eqnarray*} \leq 5% \end{eqnarray*}$ sind.

Also: $\begin{eqnarray*} p(X\leq L)\approx 0.05 \quad \text {\rm und} ~~ p(x \geq R)\approx 0.05 \end{eqnarray*}$
von den Zahlen L und R nimmt man die grösste (kleinste) für die die Bedingung noch passt.

L=183 und R=217, oder :

die Anzahl der Treffer liegt zwischen 183 und 217, diese Behauptung ( Ereignis ) hat eine Wkt von 90%

$\begin{eqnarray*} p(183\leq X \leq 217)=0.9 \end{eqnarray*}$

Ob das jetzt unter Vertrauensintervall läuft, weiss ich nicht, aber vom Wortsinne her, würde es schon passen.

03.03.2012, 19:46

Kasen75

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Hallo,

ich poste nur, weil ich ein anderes Ergebnis habe als dopap. Und ich noch etwas mehr erklären wollte. Ich sage jetzt nur etwas zur Teilaufgabe a).

Im prinzip muss diese Bedingung

$\begin{eqnarray*} P(200-z*\sigma<= X<= 200+z*\sigma)=0,9 \end{eqnarray*}$

erfüllt sein.

Hierzu muss man erst mal prüfen, ob man die Standardabweichung mit der Normalverteilung approximieren kann. Wenn n * p * (1-p) > 9, dann ist das möglich.

400 * 0,5 * 0,5 = 100. Also kann man den Faktor z in der Tablelle der "Quantile" für "Normalvertilungen" nachschlagen.

$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ................. $\begin{eqnarray*} Z\beta \end{eqnarray*}$
0.8..............0.84162
0.9..............1.28155
0.95............1.64485
0.975..........1.95996
0.98 ...........2.05375
0.99............2.32635
0.995..........2.57583
0.9975........2.80703
0.998..........2.87816
0.999..........3.09023
0.9995........3.29053

Die Standardweichung (nicht Varianz) für die Binomialverteilung kennst du ja. Jetzt musst du nur noch die Therme (von oben) 200-z*\sigma und 200+z*\sigma ausrechnen und nach der Gleichung von oben richtig interpretieren. Ich würde mich freuen, wenn du das Vertrauensintervall mit den entsprechenden Werten posten würdest. Am besten mit einem Antwortsatz

Mit freundlichen Grüßen.

03.03.2012, 20:01

Dopap

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Zitat:

Original von Kasen75
... ich poste nur, weil ich ein anderes Ergebnis habe als dopap.

Mein Ergebnis ist mittels Binomialverteilung ermittelt.
Genau gesehen habe ich den zweiseitigen Ablehnungsbereich für die Hypothese p=0.5 mit $\begin{eqnarray*} \alpha=0.1 \end{eqnarray*}$ ermittelt. Ich hoffe dass sich unsere Ergebnisse nur um maximal 1 unterscheiden.

04.03.2012, 15:18

Ulliii

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Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

ich poste nur, weil ich ein anderes Ergebnis habe als dopap. Und ich noch etwas mehr erklären wollte. Ich sage jetzt nur etwas zur Teilaufgabe a).

Im prinzip muss diese Bedingung

$\begin{eqnarray*} P(200-z*\sigma<= X<= 200+z*\sigma)=0,9 \end{eqnarray*}$

erfüllt sein.

Hierzu muss man erst mal prüfen, ob man die Standardabweichung mit der Normalverteilung approximieren kann. Wenn n * p * (1-p) > 9, dann ist das möglich.

400 * 0,5 * 0,5 = 100. Also kann man den Faktor z in der Tablelle der "Quantile" für "Normalvertilungen" nachschlagen.

$\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ................. $\begin{eqnarray*} Z\beta \end{eqnarray*}$
0.8..............0.84162
0.9..............1.28155
0.95............1.64485
0.975..........1.95996
0.98 ...........2.05375
0.99............2.32635
0.995..........2.57583
0.9975........2.80703
0.998..........2.87816
0.999..........3.09023
0.9995........3.29053

Die Standardweichung (nicht Varianz) für die Binomialverteilung kennst du ja. Jetzt musst du nur noch die Therme (von oben) 200-z*\sigma und 200+z*\sigma ausrechnen und nach der Gleichung von oben richtig interpretieren. Ich würde mich freuen, wenn du das Vertrauensintervall mit den entsprechenden Werten posten würdest. Am besten mit einem Antwortsatz

Mit freundlichen Grüßen.

Also zu berechnen ist also $\begin{eqnarray*} P(200-z*\sigma \le X \le 200+z*\sigma)=0,9 \end{eqnarray*}$ dabei stellt 200 den Erwartungswert dar, der sich aus 400*0,5=200 berechnet und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Standardabweichung, welche sich aus der Wurzel aus n*p*(1-p)=10 ergibt.

Also muss bei dieser Aufgabe der Faktor z berechnet werden. Laut deiner Tabelle müsste z=1.28155 sein. Demnach ergäbe sich ein Intervall [200 - 1.28155*10; 200 + 1.28155* 10] = [ 187,1845; 212,8155]. Da bei einem Münzwurf nur ganze Zahlen Sinn machen, würde ich die Werte noch runden zu [187; 213].

Antwort: Wirft man eine Münze 400 mal, dann erhält man mit einer Wkeit von 90% zwischen 187 und 213 mal Wappen.

Eine Frage bleibt grad noch bei mir und zwar soll man diese Aufgabe ganz ohne TR lösen und wie bestimme ich das z, wenn ich gerade keine solche Tabelle zur Hand habe? verwirrt

Aber schonmal vielen Dank!

04.03.2012, 16:28

Dopap

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mit der Interpretation der Quantilen stimm was nicht.

für die standardisierte Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \Phi(1.28155) =0.8999997 \end{eqnarray*}$

fällt da was auf? $\begin{eqnarray*} p(z\leq1.28155)=0.9 \end{eqnarray*}$ d.h.

es wurde berechnet, dass $\begin{eqnarray*} p(X\leq 213)=0.9 \end{eqnarray*}$ ist. Das war aber nicht(*) gefragt.

Die Tabelle muss so gelesen werden, dass 95% der Treffer kleiner sind.
Für kleiner 5% fehlt der Eintrag, aber wegen Symmetrie kann der zuerst gefundenen Wert für $\begin{eqnarray*} z\beta=1.64485 \end{eqnarray*}$ an X=200 gespiegelt werden.
Verstanden?

(*) das Intervall 0-213 wäre natürlich auch ein mögliches Intervall. Sinnigerweise legt man es im Normalfalle symmetrisch zum Erwartungswert!
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Eine Tabelle ist kein TR. Deshalb geht es auch ohne TR.

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