Punktprobe bei Ebenen - liegt ein bestimmter Punkt auf der Ebene?

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Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »
Punktprobe bei Ebenen - liegt ein bestimmter Punkt auf der Ebene?
Meine Frage:
Hallo!

Ich bräuchte bei folgender Aufgabe Hilfe: Ich habe die Parameterdarstellung einer Ebene gegeben und soll nun prüfen, ob ein bestimmter Punkt auf ihr liegt:

Meine Ideen:
und A(8/3/14)

Zunächst muss ich die Ebenengleichung und den Punkt gleichsetzen und dann in ein LGS schreiben, oder? Bei Geradengleichungen muss ich dann ja einfach alle drei Zeilen des LGS nach der Variablen auflösen und wenn in allen drei Zeilen das gleiche für die Variable rauskommt, dann liegt der Punkt ja auf der Geraden. Aber wie ist das bei Ebenen? Eine Ebenengleichung enthält ja zwei Variablen, wie finde ich dann dort heraus, ob der Punkt auf der Ebene liegt?

Vielen Dank schonmal im Vorraus! smile
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

im Prinzip genau wie du es beschrieben hast.

du stellst folgende Gleichung auf:

3 + 2*r + 3*s = 8
0 + r + 2*s =3
2 + 7*r + 5*s = 14

Dieses Gleichungssystem lösen. Im Prinzip brauch man zur Bestimmung von r und s nur 2 Gleichungen. Die Werte die dann heraus kommen, müssen dann auch für die dritte Gleichung stimmen. Wenn du ein Ergebnis hast, dann poste es mal bitte.

Mit freundlichen Grüßen
 
 
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Ihr bereits gelernt habt, wie man Ebenengleichungen umwandelt zwischen Parameter-/Normalen- und Koordinatenform, dann empfehle ich nicht die Parameterform zu nehmen, sondern dich für eine der anderen beiden zu entscheiden, die Umwandlung geht relativ schnell und du musst anschließend nurnoch einsetzen und gucken obs nen Widerspruch gibt oder nicht Freude

LG
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

I. 3 + 2r + 3s = 8
II. r + 2s =3
III. 2 + 7r + 5s = 14

Okay, also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann würde ich zunächst Gleichung II. nach r auflösen. Das wäre dann r=3-2s. Dann würde ich r in Gleichung I. einsetzen und nach s auflösen: 3+2(3-2s)+3s=8, dann erhalte ich s= 0,25. Und danach setze ich dann s in r ein: r=3-2*0,25, also dann r=2,5. Und als letztes setze ich diese beiden Variablen in Gleichung III. ein: 2+7*2,5+5*0,25=14, als Ergebnis erhalte ich dann: 20,75=14. Wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe, ist das ja eine falsche Aussage und bedeutet ja dann, dass der Punkt nicht auf der Ebene liegt. Rechnet man das so, oder habe ich irgendetwas komplett falsch verstanden?

Ja, also wir haben Ebenengleichungen schon von Parameter- in Koordinatenform umgewandelt. Heißt das, ich müsste in diesem Fall, wenn ich die Koordinatengleichung ausgerechnet habe, einfach die x1-Koordinate für X1, die x2-Koordinate für x2 und die x3-Koordinate für x3 einsetzen? Und wenn etwas unwahres herauskommt, liegt der Punkt nicht auf der Ebene und wenn etwas wahres herauskommt, dann liegt er auf der Ebene? Klar, die Möglichkeit ist wirklich viel einfacher, vielen Dank dafür! Augenzwinkern Aber ich möchte gerne beide Möglichkeiten verstehen, da wir es eigtl. immer nach Parameterform umgewandelt haben!

Liebe Grüße! Wink
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo lena,

Du hast richtig die 2. Gleichung nach r richtig aufgelöst und dann in die 1. Gleichung eingesezt:

3+2(3-2s)+3s=8

Klammer auflösen:
3 + 6 - 4s + 3s =8

Zusammenfassen:

9 - s = 8

s = 1

Du hast die Gleichung einfach nicht ganz richtig aufgelöst. Flüchtigkeitsfehler. Jetzt kannst du ja r bestimmen. Und dann die Werte für r und s in die 3. Gleichung einsetzen. Das wird schon klappen. Freu mich schon auf ein neues Ergebnis.

Mit freundlichen Grüßen
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena1993
Ja, also wir haben Ebenengleichungen schon von Parameter- in Koordinatenform umgewandelt. Heißt das, ich müsste in diesem Fall, wenn ich die Koordinatengleichung ausgerechnet habe, einfach die x1-Koordinate für X1, die x2-Koordinate für x2 und die x3-Koordinate für x3 einsetzen? Und wenn etwas unwahres herauskommt, liegt der Punkt nicht auf der Ebene und wenn etwas wahres herauskommt, dann liegt er auf der Ebene? Klar, die Möglichkeit ist wirklich viel einfacher, vielen Dank dafür! Augenzwinkern Aber ich möchte gerne beide Möglichkeiten verstehen, da wir es eigtl. immer nach Parameterform umgewandelt haben!

Liebe Grüße! Wink


Ganz genau, wenn du die Koordinatenform hast, einfach die x1,x2 und x3 Koordinate einsetzen und wenn eine wahre Aussage rauskommt, liegt der Punkt auf der Ebene, wenn nicht, dann nicht. Genauso bei der Normalenform.
Mit der Parameterform ist es etwas langwieriger, aber mit ein bisschen Übung auch nicht schwerer Augenzwinkern
LG
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! smile

Ah okay, da hab ich mich wohl verrechnet! Okay, also habe ich r= 3-2s und s=1. Also setze ich s in r ein und erhalte r=1 und die beiden Variablen setze ich dann in Gleichung III. ein:

2 + 7*1 + 5*1 = 14

dann erhalte ich: 14=14

Das ist ein wahre Aussage und bedeutet, dass der Punkt auf der Ebene liegt, richtig?

Super, dann weiß ich jetzt wie das sowohl mit der Parameter- wie auch mit der Koordinatenform funktioniert.

Eine Frage hätte ich aber noch: Wieso berechnet man die Lagebeziehung Punkt-Ebene genauso wie die Lagebeziehung Gerade-Gerade und nicht auch wie Punkt-Gerade? Beides wäre ja eine Punktprobe. Bei Punkt-Gerade berechnet man ja lediglich für alle drei Zeilen im LGS die Variable und schaut, ob für diese in allen drei Zeilen das gleich herauskommt. Macht man das bei Punkt-Ebene deshalb so, weil dort ja zwei Variablen auftreten?

Liebe Grüße! Wink
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena1993
Eine Frage hätte ich aber noch: Wieso berechnet man die Lagebeziehung Punkt-Ebene genauso wie die Lagebeziehung Gerade-Gerade und nicht auch wie Punkt-Gerade? Beides wäre ja eine Punktprobe. Bei Punkt-Gerade berechnet man ja lediglich für alle drei Zeilen im LGS die Variable und schaut, ob für diese in allen drei Zeilen das gleich herauskommt. Macht man das bei Punkt-Ebene deshalb so, weil dort ja zwei Variablen auftreten?

Liebe Grüße! Wink


Hey,

Bei der Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene gibts ja nur zwei Möglichkeiten, entweder liegt der Punkt auf der Ebene, oder er tut es nicht (man könnte falls gefordert natürlich auch noch prüfen, ob der Punkt auf der selben Seite der Ebene liegt wie der Ursprung, den Abstand berechnen, etc.).

Bei der Lagebeziehung Gerade-Gerade gibt es jedoch mehr Möglichkeiten:
- identisch
- parallel
- windschief
- mit schnittpunkt

Bei Punkt Gerade guckt man wiederum nur, ob der Punkt auf der Geraden liegt oder nicht, ggf. berechnet man noch den Abstand.

Vielleicht hab ich dich missverstanden, aber man berechnet für die Lagebeziehung Punkt-Ebene ("quasi" einsetzen) viel weniger, als für die Lagebeziehung Gerade-Gerade, da es dort viel mehr Möglichkeiten gibt, wie sie zueinander liegen können.

Hoffe, ich habe dich richitg verstanden und erzähl dir nichts, was du sowieso schon weißt :P

LG Wink


edit:
Oder meinst du es so, dass man sowohl bei Punkt - Ebene den Punkt mit der Ebene gleichsetzt (Parameterform) und bei Gerade - Gerade ebenfalls die Geraden gleichsetzt?
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu!

Hm... ich glaube, du hast mich missverstanden, bzw. ich habe mich ziemlich blöd ausgedrückt, habe die Hälfte vergessen. Vergiss einfach was ich über Gerade-Gerade gesagt habe.
Ich versuche mal, meine Frage besser auszudrücken. Augenzwinkern

Also, wenn ich bei einer Gerade prüfen soll, ob ein bestimmter Punkt auf ihr liegt, oder nicht, dann setze ich die Parameterform der Geraden mit dem Punkt gleich. Danach schreibe ich das in ein LGS. Und dann löse ich alle drei Zeilen des LGS nach der Variablen auf. Kommt in allen drei Gleichungen das gleiche für die Variable raus, dann liegt der Punkt auf der Geraden, kommen verschiedene Lösungen für die Variable raus, dann liegt der Punkt nicht auf der Geraden, richtig? smile

Wenn ich nun aber bei einer Ebene prüfen soll, ob ein bestimmter Punkt auf ihr liegt, (kann ich es entweder mit der Koordinatenform ganz schnell lösen) oder ich setze eben die Parameterform der Ebene mit dem Punkt gleich und schreibe auch das in ein LGS (genau wie bei Punkt-Gerade), aber dann ermittle ich ja zunächst die eine Variable (ich habe in diesem LGS ja zwei Variablen, da eine Ebene ja zwei Spannvektoren besitzt), z.B. r, dann setze ich r in eine zweite der drei Gleichungen ein und ermittle so s. Danach setze ich s wieder in r ein, um für r auch eine Zahl zu erhalten. Habe ich r und s, setze ich diese beiden Variablen in die dritte und bisher unbenutzte der drei Gleichungen ein. Kommt eine wahre Aussage heraus, liegt der Punkt auf der Ebene, kommt eine unwahre Aussage heraus, liegt der Punkt nicht auf der Ebene, richtig?

Und nun zu meiner Frage: Wieso berechne ich die Lagebeziehung Punkt-Ebene anders als die Lagebeziehung Punkt-Gerade und nicht genauso? Liegt das daran, dass ich bei Punkt-Ebene zwei Variablen habe?

Vielleicht ist die Frage etwas blöd und banal, aber ich versuche, die Zusammenhänge und die Gründe, wieso ich jetzt etwas rechne besser zu verstehen. Dann kann man sich besser merken, wann man was machen muss finde ich. Augenzwinkern

Liebe Grüße! Wink
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena1993
Also, wenn ich bei einer Gerade prüfen soll, ob ein bestimmter Punkt auf ihr liegt, oder nicht, dann setze ich die Parameterform der Geraden mit dem Punkt gleich. Danach schreibe ich das in ein LGS. Und dann löse ich alle drei Zeilen des LGS nach der Variablen auf. Kommt in allen drei Gleichungen das gleiche für die Variable raus, dann liegt der Punkt auf der Geraden, kommen verschiedene Lösungen für die Variable raus, dann liegt der Punkt nicht auf der Geraden, richtig? smile

stimmt genau!

Zitat:
Wenn ich nun aber bei einer Ebene prüfen soll, ob ein bestimmter Punkt auf ihr liegt, (kann ich es entweder mit der Koordinatenform ganz schnell lösen) oder ich setze eben die Parameterform der Ebene mit dem Punkt gleich und schreibe auch das in ein LGS (genau wie bei Punkt-Gerade), aber dann ermittle ich ja zunächst die eine Variable (ich habe in diesem LGS ja zwei Variablen, da eine Ebene ja zwei Spannvektoren besitzt), z.B. r, dann setze ich r in eine zweite der drei Gleichungen ein und ermittle so s. Danach setze ich s wieder in r ein, um für r auch eine Zahl zu erhalten. Habe ich r und s, setze ich diese beiden Variablen in die dritte und bisher unbenutzte der drei Gleichungen ein. Kommt eine wahre Aussage heraus, liegt der Punkt auf der Ebene, kommt eine unwahre Aussage heraus, liegt der Punkt nicht auf der Ebene, richtig?

ja, da hattest du ja oben schon das beispielsmile

Zitat:
Und nun zu meiner Frage: Wieso berechne ich die Lagebeziehung Punkt-Ebene anders als die Lagebeziehung Punkt-Gerade und nicht genauso? Liegt das daran, dass ich bei Punkt-Ebene zwei Variablen habe?

Bei Punkt-Ebene kannst du die Lagebeziehung ja nicht mit nur einer Variablen berechnen, da du ja wie schon richtig erklärt die beiden Spannvektoren hast, die lin.unabh. sind. Wenn du bei einer Ebene nur prüfst, ob der Punkt auf einer Geraden liegt (ein Parameter), welche wiederum in der Ebene liegt, und du eine unwahre Aussage bekommst (was ja heißt, dass der Punkt nicht auf jener Geraden liegt), könnte der Punkt trotzdem noch irgendwoanders auf der Ebene liegen(nur halt nicht auf der Geraden in der Ebene).
Eine Ebene ist ja ganz banal gesehen einfach unendlich parallele Geraden aneinander, also müsstest du JEDE Gerade der Ebene, was bei unendlich unmöglich ist, prüfen wenn du es wie bei Punkt-Gerade machen würdest.

Zitat:
Vielleicht ist die Frage etwas blöd und banal, aber ich versuche, die Zusammenhänge und die Gründe, wieso ich jetzt etwas rechne besser zu verstehen. Dann kann man sich besser merken, wann man was machen muss finde ich.

Es gibt weder blöde, noch banale Fragen und wenn man es sich so besser merken kann, ist die Frage mehr als nötig Augenzwinkern !

Zitat:
Liebe Grüße! Wink

Ich hoffe du kannst meine Antwort nachvollziehen, sonst freu ich mich schon auf die nächste Frage Big Laugh !
LG Wink
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Nein, ich habe deine Antwort verstanden und konnte sie gut nachvollziehen, alles super! Freude Vielen Dank! Aber eine weitere Frage hätte ich trotzdem. Big Laugh Ich habe gerade die Parameterform einer Ebene in die Koordinatenform umgewandelt und dafür -4 = -x2-x3 herausbekommen. Ich glaube aber nicht, dass das stimmt. Die Parameterform lautet: E: x=

Mein Rechenweg:

Habe zunächst die Parameterform mit x2/x2/x3 gleichgesetzt ---> LGS! Bei allen drei Zeilen alle x und alle Zahlen auf die linke, alle Variablen auf die rechte Seite. Die erste Gleichung lautete dann -X1+2=r. Das habe ich dann in die zweite Gleichung eingesetzt und 1/2*x2-3/2-1/2x1=s erhalten. Und dann habe ich r uns s in die dritte Gleichung eingesetzt und obige Koordinatengleichung erhalten. Ist die Gleichung richtig? Und wenn nein, wo liegt der Fehler?

Liebe Grüße!
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Um von der Parameterform in die Koordinatenform einer Ebene zu kommen, bildet man zunächst aus den beiden Spannvektoren den Normalenvektor der Ebene:

SV1 x SV2, also das Vektorkreuzprodukt bilden, das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht, also der Normalenvektor der Ebene!

Daraus kannst du nun die Normalenform der Ebene aufstellen:



Dabei steht n für den Normalenvektor und p für den Stützvektor der Ebene. x-Vektor bleibt einfach so dabei stehen.

Wenn du nun den Normalenvektor ausrechnest und den Stützvektor der Ebene einsetzt, dann kannst du es ausrechnen und hast die Koordinatenform.

Also skalar Ausmultipliziern:

n1*(x1-p1) + n2*(x2-p2) + n3*(x3-p3) = 0

dann ausmultipliziern, und alles was nicht x1,x2 oder x3 beinhaltet, auf die rechte Seite bringen.

Dann hast du die Koordinatenform, probier das mal smile

Freu mich auf dein hoffentlich richtiges Ergebnis Augenzwinkern

LG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena1993
...
Ist die Gleichung richtig? Und wenn nein, wo liegt der Fehler?
...

Ja, die Gleichung ist richtig. Sie lautet - leicht umgeformt

x2 + x3 = 4

mY+
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu! Wink

Zitat:
Ja, die Gleichung ist richtig. Sie lautet - leicht umgeformt x2 + x3 = 4


Okay, vielen Dank! smile Sind dann beide Ergebnisse richtig, oder nur die umgeformte Gleichung?

Zitat:
Um von der Parameterform in die Koordinatenform einer Ebene zu kommen, bildet man zunächst aus den beiden Spannvektoren den Normalenvektor der Ebene: SV1 x SV2, also das Vektorkreuzprodukt bilden, das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren steht, also der Normalenvektor der Ebene! Daraus kannst du nun die Normalenform der Ebene aufstellen: Dabei steht n für den Normalenvektor und p für den Stützvektor der Ebene. x-Vektor bleibt einfach so dabei stehen. Wenn du nun den Normalenvektor ausrechnest und den Stützvektor der Ebene einsetzt, dann kannst du es ausrechnen und hast die Koordinatenform. Also skalar Ausmultipliziern: n1*(x1-p1) + n2*(x2-p2) + n3*(x3-p3) = 0 dann ausmultipliziern, und alles was nicht x1,x2 oder x3 beinhaltet, auf die rechte Seite bringen.


Hm... so haben wir das gar nicht gemacht. Das Kreuzprodukt sollen wir auf gar keinen Fall anwenden. unglücklich Wenn ich ehrlich bin, glaube ich, dass es mich, wenn ich es so rechnen würde, noch mehr verwirren würde. Aber trotzdem vielen Dank für deine Mühe! Freude

Liebe Grüße! Wink
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von Lena1993
...
Ist die Gleichung richtig? Und wenn nein, wo liegt der Fehler?
...

Ja, die Gleichung ist richtig. Sie lautet - leicht umgeformt

x2 + x3 = 4

mY+



oh mist, du hast recht, mal -1 und es ist meine Lösung, da hab ich mich verguckt, tut mir leid Lena!

Also ich hab es von vornerein mit dem Kreuzprodukt gelernt und dann über die NormalenformAugenzwinkern Aber dank mYthos weißt du ja nun, dass deine Methode genauso funktioniert smile

LG Wink
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank! Freude Gut, dass ich jetzt weiß, dass ich es richtig gemacht habe. Augenzwinkern

Aber eine Sache verstehe ich noch nicht. Wieso muss ich am Ende mal -1 rechnen? Sind nicht beide Koordinatengleichungen richtig?

Liebe Grüße! Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig ist beides. Aber - ehrlich - was sieht besser aus:

-a - b = -c oder a + b = c

?

mY+
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dann bin ich ja erleichtert! Augenzwinkern

Klar, die rechte Gleichung sieht auf jeden Fall besser aus, aber zumindest weiß ich jetzt, dass es nicht schlimm ist, wenn ich mal -1 vergesse! Big Laugh

Müsste, bzw. könnte ich mal -1 auch rechnen, wenn die Gleichung statt

-4 = -x2-x3

-4 = -x2+x3 lauten würde, oder kann man mal -1 nur machen, wenn alle Zeichen der Gleichung negativ sind? (Oder soll ich es einfach gleich lassen, um mich nicht selbst zu verwirren, bzw. nichts zu riskieren? Big Laugh )

Liebe Grüße! Wink
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Vollquote entfernt. Bitte Quotas nur sparsam einsetzen. Von einfach nur Zitieren ist abzusehen!

Wie die Gleichung aussieht ist egal, hauptsache du machst es auf der linken Seite genauso wie auf der rechten, dann kannst du immer mal (-1) nehmen oder beliebig erweitern smile

wichtig ist nur, dass es auf beiden Seiten gleich geschieht!

LG
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, dankeschön! smile

Hätte da noch eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich sie lösen soll. Ich weiß aber auch nicht, ob ich dafür extra einen neuen Thread aufmachen soll, deswegen schreibe ich es mal hier rein:

Aufgabe:



Nun soll man a so bestimmen, dass g mit E keinen gemeinsamen Schnittpunkt hat.

Ehrlich gesagt habe ich nicht wirklich eine Ahnung wie ich das machen soll. Habe zunächst die Koordinatengleichung der Parameterdarstellung der Ebene berechnet und dafür 4= -x1-x2+3x3 erhalten. Jetzt könnte ich ja die Geradengleichung mit (x1/x2/x3) gleichsetzen und erhalte:

x1=1
x2=-6-3t
x3= -3 + at

Das würde ich jetzt in die Koordinatengleichung einsetzen. Aber ich weiß nicht, ob man das überhaupt so macht und wie ich dann weitermache?! Hoffe, mir kann jemand weiterhelfen!

Liebe Grüße! Wink
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Also generell gibts ja ne Menge a's die diese Bedingung erfüllen würden.
Ich würde wie du schon geschrieben hast x1,x2 und x3 in die Koordinatengleichung einsetzen, nach a umformen und das was du dann herausbekommst, darf NICHT a sein, weil dann hättest du ja ne wahre Aussage und damit würde es passen.

Aber hatte selber noch nie ne Aufgabe dieser Art, daher lasse ich mich gerne berichtigen, nur so würde ich mit deinem Ansatz weiter verfahren, denke ein genaues a kann man da ja nicht bestimmen..

LG
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... ja, klingt logisch. Allerdings ist mir gerade aufgefallen, dass ich für a ja gar keine Zahl herausbekommen kann, da t ja auch noch da ist. Dann geht das so gar nicht, oder doch? verwirrt

Liebe Grüße! Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lena1993
...
Hätte da noch eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich sie lösen soll. Ich weiß aber auch nicht, ob ich dafür extra einen neuen Thread aufmachen soll, ...

Bitte das nächste Mal: Neue Aufgabe/Frage --> Neuer Thread!
__________________________

Zu der Aufgabe:
Dein Vorgehen ist richtig. Setze jetzt die drei kleinen Terme für x1, x2 und x3 in die Koordinatengleichung der Ebene ein und löse zunächst nur nach t. Behandle dabei a wie jede andere feste Zahl. Du bekommst ein eindeutiges Ergebnis für t, in welchem natürlich auch der Parameter a aufscheint. Nun gibt es einen einzigen Fall für a, in dem dieses Ergebnis nicht definiert ist! Dieser Wert für a ist auszuschließen, und damit ist die Frage beantwortet.

Bemerkung:
Es gibt noch eine andere - sehr elegante - Möglichkeit, diese Aufgabe zu lösen. Damit die Gerade keinen Schnittpunkt mit der Ebene hat, muss sie zu ihr parallel liegen. Daher müssen die beiden Richtungsvektoren der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden linear abhängig, d.h. komplanar sein. Weil in diesem Fall die aus ihren Komponenten in Spaltenvektoren geschriebene Determinante den Wert 0 haben muss, kann daraus eine Gleichung für a erstellt werden. Die ganze Prozedur geht sehr schnell und erfordert bis zur Lösung nur 2 Zeilen.

mY+
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nächstes Mal neuer Thread, ist gespeichert! Dankeschön smile

Zur Aufgabe:

Klingt zunächst plausibel, jedoch komme ich mit dem Auflösen der Gleichung nicht ganz klar.

Die Koordinatengleichung:



Die drei kleinen Terme:







Eingesetzt sieht das dann so aus:



Habe dann so vereinfacht: 4 = -1 - 6 + 3t + 9 + 3at --> war mir hier nicht ganz sicher, ob ich die erste Klammer wie eine Minusklammer auflöse, oder es keine Minusklammer ist, weil - und - eigentlich + ergibt, deshalb habe ich es einfach mal als Minusklammer aufgelöst.

4 = 2 + 3t + 3at

2 = 3t + 3*a*t ---> und an dieser Stelle weiß ich nicht mehr weiter. Wie bekomme ich jetzt das t aus 3at?

Liebe Grüße! Wink
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Klammer nicht ganz richtig aufgelöst, aus -(-6) wird ja +6, also kommst du am Ende zu:

und war nicht x3 = -3+at ?

Dann würde zunächst folgender Term rauskommen:

4 = -1 +6 +3t -9 +3at

Also aufgelöst dahin:

4 = -4 +3t + 3at

<=> 8 = 3t + 3at

Guck mal genau hin, dann kannst du etwas ausklammern und dann kannst du unter einer Bedingung für a nach t auflösen smile
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Wink

Achsoo... man löst die Klammer wie eine Minusklammer auf, aber - und - ergibt ja trotzdem plus! Jetzt habe ich verstanden, wie man -(-6 - 3t) auflöst. Allerdings dachte ich, dass man es wie eine Minusklammer auflöst (also das Minus vor der Klammer wird beibehalten) und das - vor der 6 IN der Klammer, müsste man doch eigtl. umdrehen, wegen der Minusklammer. Und dann wäre es ja eigtl. - 6, oder ist meine Denkweise einfach viel zu kompliziert? Big Laugh

Ja, du hast übrigens recht! Augenzwinkern x3 = -3 + at, schon wieder so ein blöder Flüchtigkeitsfehler! verwirrt

Okay, dann lautet ja die Gleichung: 4 = -1 - (-6 - 3t) + 3( -3 + at)

Aufgelöst dann: 4 = -1 + 6 + 3t - 9 + 3at (wie du schon geschrieben hast)

Und dann 8 = 3t + 3at

Kann ich jetzt das t ausklammern?! (Mit ausklammern hab ich es nicht so, meistens haperts dann doch an den einfachsten Sachen)

Wenn ja, sieht das dann so aus: 8 = t(3 + 3a) oder?

So... und dann? Wie genau meinst du "unter Bedingung für a nach t auflösen"?

Liebe Grüße! Wink
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder wird bei einer Punktprobe gleichgesetzt oder man bildet die Koordinatenform der Ebene und setzt die Punkte als x1,x2 und x3 ein und schaut ob die Lösung wahr ist. Ist sie wahr, dann ist ein Punkt vorhanden. Andernfalls nicht.
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so sieht es ausgeklammert aus.

Die Bedingung für a ist einfach, dass der Term in der Klammer nicht null werden darf,da du ja dadurch teilen musst, damit du t erhälst!

Ein Minus vor einer Klammer dreht alle Vorzeichen darin um, um das nochmal aufzugreifen smile

LG
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@SpanischLiebling

Deine Antwort trifft NICHT die Frage von Lena. Bitte enthalte dich solcher Anworten, und überhaupt, wenn schon andere Helfer den Thread bearbeiten, kannst du deinerseits durchaus auf eine Einmischung in den Thread verzichten, es sei denn, aus schwerwiegenden Gründen!

@Lena

Du darfst/kannst zunächst sogar noch dividieren, um die Lösung für alle (zutreffenden) a zu erhalten:



Jetzt solltest du wissen, dass der Nenner eines Bruches NICHT 0 werden darf ... (für welches a ist dies der Fall?)

mY+
Lena1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich hab's fast verstanden. Augenzwinkern

Der Nenner des Bruches wäre Null, wenn a -1 wäre. Aber inwiefern hilft mir das jetzt? Ich habe dann ja immer noch nichts für a raus. Und wieso möchte ich eigtl. nochmal t ausrechnen? Wenn ich für t ein Ergebnis habe, dann würde das ja bedeuten, dass die Gerade die Ebene schneidet. Und sie sollen ja keinen gemeinsamen Punkt haben.

Liebe Grüße! Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Selbstverständlich hast du ein a raus! Du hast es ja gerade mit -1 selbst berechnet!
Weshalb behauptest du dann, du hast kein a raus?
__________

Ich möchte das nochmals genau beleuchten:

Es ist ja richtig, dass es immer einen Schnittpunkt gibt, solange t berechnet werden kann.
Es gibt aber genau einen Fall, für den KEIN t und damit KEIN Schnittpunkt existiert!
Und das passiert genau dann, WENN der Nenner des Bruches zu Null wird.
Nun, sehen wir uns diesen Fall doch näher an, indem wir den Nenner gleich 0 setzen:

3a + 3 = 0
-->
a = -1

Damit wurde jenes a ermittelt, für welches es eben keinen Schnittpunkt gibt!
Und damit ist die Frage beantwortet.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

0fftopic : das Problem : "liegt ein Punkt in einer Ebene" hat derzeit 30 Antworten und über 300 Klicks. Das zeigt doch die Breite der Unsicherheit.
Frage ich meine Schüler: nun was sind die Hausaufgaben?, dann kann man immer wieder sowas hören wie: " Wir sollen uns mit dem Stoff beschäftigen und wer will, kann die Aufgabe 3c rechnen"
Wenn man gewillt ist, das, was man unter Grundlagen versteht, zu vermitteln, ist die klare Ansage:

HausAufgaben sind : 3 a-g und 4 a-h

Dies wollte ich mal loswerden, auch in der Hoffnung, dass mal wieder ein aktiver Lehrer vorbeischaut. böse
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
... ist die klare Ansage:

HausAufgaben sind : 3 a-g und 4 a-h
...

Das sagt mir jetzt eigentlich nichts ...
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das sind Unglaubliche 7 +8 = 15 !!!! Aufgaben unglücklich

( ...für die Nichtlehrer Big Laugh ...)
MarOl1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was genau hat das mit dem Thema zutun? Könnte man denk ich einfach löschen, steht der Übersicht mehr als nur ein bisschen im Weg!
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