[Verschoben] Abzählbarkeit Menge

03.03.2012, 18:12	nero08	Auf diesen Beitrag antworten »
[Verschoben] Abzählbarkeit Menge 1. Sei A endlich und B abzählbar unendlich. Zeige, dass die Vereinigung von A und B abzählbar unendlich ist. 2. Zeige, dass die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen A und B wieder abzählbar ist. add 1.) Hier hätte ich eine Lösung mit Induktion: (beispiel 2) www.uni-graz.at/people/clason/teaching/g...raining_L12.pdf nur leider ist mir die nicht ganz klar... gebe es vl. eine möglichkeit die Indukion zu umgehen? add 2.) A = {a1,a2,a3,...} B= {b1,b2,b3,b4,...} Jetzt gilt es zu zeigen dass N->(AUB) gleichmächtig ist. Nun konstruiere ich solch eine bijektive Abbildung. Idee: 1-> a1 2->b1 3->a2.... a((n+1)/2) wenn n ungerade f(n) = { a(n/2) wenn n ungerade Wichtig ist auch noch, dass A und B disjunkt sind. Dies erreiche ich durch meine oben konstruierte Abbildung. // wo anders wurde mir der tipp gegeben, dass dies falsch ist. AUB=(A\B)UB jetzt hätte ich eine disjunkte konstruktion. nur die frage ist ob ich dann so weiter machen darf wie unten(z.B. beim beweis von innjektiv). und ob ich im ende N-> (A\B)UB habe... innjektivität: Sei f(n) = f(m). n und m müssen beide ungerade sein denn f(n) != f(m), weil A und B disjunkt. beide gerade: f(n) = f(m) => bn/2 = bm/2 => n/2 = m/2 => n=m beide ungerade: f(n) = f(m) => b(n+1)/2 = b(m+1)/2 => (n+1=/2 = (m+1)/2 => n=m => innjektiv surj.: Sei y e (AUB). Dann ist yeA oder yeB. Angemommen y= akeA. Dann ist y=f(2k -1) also y e f(N) Falls y=bl e B. Dann gilt y=f(2l) also y e f(N) // So ähnlich haben wirs mal gemacht nur weiß ich nicht wie man auf y e f(N) kommt... Für jedes y existiert ein Urbild unter f in N. Also ist f surjektiv. => surj. Also weiß ich das es eine bijektive Abbildung von N->(AUB) gibt. Beide sind gleich mächstig also da N abzählbar unendlich ist gilt dies auch für (AUB). wenn mal jemand drüberschaun würde obs passt wäre cool. und vl. ein leichterer ansatz bei 1.) =) lg EDIT: Sorry seh gerade, dass ich schule erwischt habe und nicht uni! vl. kanns wer verschieben! =) Done, Gruß Gualtiero
03.03.2012, 19:43	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Verschoben] Abzählbarkeit Menge Ich kenne die Def. "B abzählbar unendlich" $\begin{eqnarray} \colon\iff f\colon \mathbb N \to B \end{eqnarray}$ bijektiv und "B endlich" $\begin{eqnarray} \colon\iff f\colon \{1,\cdots,n\} \to B \end{eqnarray}$ bijektiv für ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ 1. Tipp: verschiebe B ans Ende von A für bijektives $\begin{eqnarray} f\colon \mathbb N \to A \cup B \end{eqnarray}$ 2. Tipp: mit geraden und ungeraden Zahlen abzählen

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