Grenzwert Reihe - Schema & konkretes Bsp.

03.03.2012, 20:18

Whitis

Grenzwert Reihe - Schema & konkretes Bsp.

Hallo!

Es geht um Konvergenz von Reihen, genauer um den jeweiligen Grenzwert.

Erst mal das Beispiel, bei dem ich Probleme habe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{2} + \frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

Da habe ich dann erst mal mit dem Wurzelkriterium die (absolute) Konvergenz nachgewiesen.

Nun soll ich noch den Grenzwert davon berechnen, jedoch weiß ich nicht wie.

Gut, meine einzige Idee war bisher, das auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, aber das war auch irgendwie witzlos bzw. hat mich nicht weitergebracht.

Könnt ihr mir vielleicht helfen?

Weiter würde ich gerne wissen, ob ihr mir eine Art Fahrplan o.ä. für die Berechnung von Reihen-Grenzwerten nennen könnt?
(1. x machen, 2. y machen etc.. )

Vielen dank schon einmal im Voraus!

04.03.2012, 14:57

Whitis

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Ok, habe nun gelesen, dass man sowas auf die geometrische Reihe zurückführen kann, und habe das gleich mal versucht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{0} \cdot q^{i} = a_{0} \cdot \frac{q^{n+1}}{q-1} a_{0} = 1 q = ( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} ) \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n a_{0} \cdot ( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} )^{n} = 1 \cdot \lim_{n \to \infty } \frac{( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} )^{n+1} - 1}{( \frac{1}{2} + \frac{1}{n} ) - 1} = 2 \end{eqnarray*}$

Dann geht im Zähler der Klammerausdruck gegen 0, also der gesamte Zähler gegen -1
Und um Nenner geht der Klammerausdruck gegen 0,5; also -0,5.

Dementsprechend ist der Grenzwert (-1 durch -0,5) gleich 2.

Doch laut wolframalpha ist der Grenzwert irgendwo bei 3,74 glaub ich.

Habe ich irgendwo einen Fehler beim Rechnen gemacht, oder gleich die falsche Methode genutzt?

Bräuchte irgendwie dann einen Tipp, wie ich anfangen muss bitte.

04.03.2012, 15:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Whitis
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{2} + \frac{1}{n} )^{n} \end{eqnarray*}$

[...]

Nun soll ich noch den Grenzwert davon berechnen

Wirklich berechnen? Nicht nur geeignet noch oben und unten abschätzen? Ich weiß nicht, ob der Reihenwert überhaupt mit gewöhnlichen Funktionen darstellbar ist - jedenfalls wird es alles andere als einfach sein.

Das mit der geometrischen Reihe wird jedenfalls nichts, denn du hast ja bei dir kein vom Reihenindex unabhängiges $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ vorliegen.

04.03.2012, 15:39

Whitis

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Naja ob wirklich berechnen weiß ich nicht.

"Untersuche die Reihen auf Konvergenz und bestimme gegenenfalls den Grenzwert".
Dann folgen 24 Reihen die entsprechend zu untersuchen sind.

Und abschätzen hatten wir bei Reihen noch nicht..., aber das ist ohnehin ein Übungsblatt aus irgendeinem Jahr (mit Themen die wir nicht hatten, während Themen fehlen die wir hatten).

Dann lass ich die Aufgabe wohl mal.

Nur eine Frage habe ich dann noch: Wie meinst du das, mit dem vom Reihenindex unabhängigen q?

Wieso ist das keines und wie sähe eines aus?

04.03.2012, 15:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Whitis
Wie meinst du das, mit dem vom Reihenindex unabhängigen q?

Wie ich es gesagt habe: Du kannst das nicht als geometrisches Reihenglied $\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2}+\frac{1}{n} \right)^n = q^n \end{eqnarray*}$ ansehen, denn dieses $\begin{eqnarray*} q= \frac{1}{2}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist offenbar NICHT vom Reihenindex $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig - was es aber bei der geometrischen Reihe sein MUSS.

06.03.2012, 20:31

Whitis

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Ach so, ja da hatte ich gerade ein Brett vor dem Kopf bzgl. unabhängigem q.

Vielen dank für die Hilfe!

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