Ungleichung beweisen

03.03.2012, 21:20

Gast11022013

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Ungleichung beweisen

Meine Frage:
Hi,

ich möchte eine leichte Ungleichung beweisen:

Es ist stets $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq0 \end{eqnarray*}$ ; das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Da ich nach meinem Abitur vorhabe Mathe zu studieren schnupper ich zur Zeit gelegentlich in die höhere Mathematik rein und lese zu diesem Zweck ein Buch wo ich eben diese Aufgaben drin habe.
Ich lese mir meist die Kapitel mehrfach durch, aber selbst bei so einfach aufgaben weiß ich nie wie ich da im allgemeinem ran gehen soll.

Ich habe mir zur Lösung jetzt einen Satz rausgesucht der mir helfen sollte.

Satz: $\begin{eqnarray*} a\neq0 \Rightarrow a^2>0 \end{eqnarray*}$ . Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} 1>0 \end{eqnarray*}$

Aus diesem Satz habe ich nun folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq0 \Rightarrow a^2\geq0<br /> b^2\geq0<br /> <br /> a^2=0 \Rightarrow a=0<br /> b^2=0 \Rightarrow b=0<br /> \end{eqnarray*}$
Damit ist $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ , reicht das als Beweis??

Aus $\begin{eqnarray*} a^2\geq0<br /> b^2\geq0 \Rightarrow a^2+b^2\geq0 \end{eqnarray*}$

03.03.2012, 21:47

tigerbine

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RE: Ungleichung beweisen
Das stets stimmt mich stutzig. Du hast nicht festgelegt, woraus a und b stammen. Darauf werden sich aber deine Argumente begründen müssen.

03.03.2012, 21:54

Gast11022013

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Das ist der orginale Aufgabentext mit dem stets.

Was meinst du mit "woraus a und b stammen"?

03.03.2012, 21:57

tigerbine

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Na, sind das z.B. reelle Zahlen oder was? Sicher gibt es auf den komplexen Zahlen keine > Relation, aber es gilt z.B.

$\begin{eqnarray*} 1^2+i^2 = 1-1=0 \end{eqnarray*}$

und weder a noch b sind 0. Das meine ich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.03.2012, 21:59

Gast11022013

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Achso...

Also mehr angaben habe ich nicht.
Aber ich denke das die reellen Zahlen gemeint sind, da in diesem Kapitel auch keine Sätze zu Ungleichungen (falls es solche geben sollte) angegeben sind.

03.03.2012, 22:06

tigerbine

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Dennoch merke: Für Buchstaben/Variablen muss immer vorab geklärt sein, aus was sie stammen.

Zitat:

Es ist stets $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq0 \end{eqnarray*}$

Folgt sofort aus deinem Satz, da er sowohl für a als auch für b gilt und 0²=0 gilt.

Zitat:

das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ ist

Hier sind 2 Richtungen zu zeigen. Sind a=b=0, dann gilt offensichtlich a²+b²=0.

Gelte nun a²+b²=0, warum muss dann a=b=0 gelten? Dazu musst du wieder den Satz benutzen. Verwende einen Widerspruchsbeweis.

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03.03.2012, 22:10

Gast11022013

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Dann nehme ich an, dass $\begin{eqnarray*} a^2>0 \end{eqnarray*}$ ist, somit wäre $\begin{eqnarray*} a^2+b^2>0 \end{eqnarray*}$

Das wars ja eigentlich schon.

Dann müsste ich vorher noch schreiben, dass $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

03.03.2012, 22:21

tigerbine

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Nein.

Zitat:

Gelte nun a²+b²=0, warum muss dann a=b=0 gelten?

a²+b²=0 => a=b=0.

Widerspruch. Sei o.B.d.A. a ungleich 0 (mindest eines der beiden muss bei Negation ja ungleich 0 sein), dann gilt aber ..., somit ....

03.03.2012, 22:28

Gast11022013

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dann gilt aber, dass a^2>0 ist, somit ist a^2+b^2>0

Was aber das selbe wäre wie vorhin. verwirrt

verwirrt

Ich glaube mein Hauptproblem ist, dass ich mehr oder weniger vom Beweisen bisher kaum Ahnung habe.

03.03.2012, 22:30

tigerbine

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Sicher kommen Argumente wieder. Hier geht es aber um die "=" Aussage. Du musst 2 Richtungen betrachten und eine zeigt sich besser durch Widerspruch.

03.03.2012, 22:48

Gast11022013

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Also ist meine obige Ausführung falsch?

An der Stelle muss ich mich nun auch leider verabschieden.
Ich hoffe wir können morgen daran weiter arbeiten.

Schonmal vielen Dank bis hier hin. Freude

Freude

Gute Nacht. Wink

Wink

03.03.2012, 22:52

tigerbine

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Denk einfach noch mal in Ruhe darüber nach, und schau dir an, was ein Widerspruchsbeweis ist.

Wink

Wink

04.03.2012, 16:28

Gast11022013

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Was ein Widerspruchsbeweis ist weiß ich.

Meinst du ich soll annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a^2+b^2=0 \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} a^2>0 \end{eqnarray*}$ ??

04.03.2012, 16:30

tigerbine

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Ich sagte doch ganz klar, was zu tun ist.

Zitat:

a²+b²=0 => a=b=0.

Widerspruch. Sei o.B.d.A. a ungleich 0 (mindest eines der beiden muss bei Negation ja ungleich 0 sein), dann gilt aber ..., somit ....

Also zeige

Zitat:

nicht(a²+b²=0) <= nicht (a=b=0).

Augenzwinkern

04.03.2012, 16:40

Gast11022013

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Was zu machen ist weiß ich, aber ich habe keine Ahnung wie ich es notieren soll?

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2=0 \Rightarrow a=b=0 \end{eqnarray*}$

wäre eine der beiden Zahlen nun von Null verschieden, so wäre $\begin{eqnarray*} a^2>0 \Rightarrow a^2+b^2>0 \end{eqnarray*}$

04.03.2012, 16:54

tigerbine

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Wenn o.B.d.A a ungleich 0 ist, dann ist a²>0 (Satz) und damit auch a²+b² >0, da gilt $\begin{eqnarray*} b² \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Widerspruch. Somit muss gelten a=b=0.

04.03.2012, 18:00

Gast11022013

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Wenn man es sieht ist es dann einleuchtend.

Danke für die Hilfe. Freude

Freude

Wink

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