[Beweis] Ist folgende Menge eine sigma-Algebra?

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03.03.2012, 22:33	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
[Beweis] Ist folgende Menge eine sigma-Algebra? Hallo, Sei $\begin{eqnarray} \mathcal A:=\{A\subseteq [0,1]\ \|\ A=\emptyset\ oder\ A=\bigcup\limits_{i=1}^{n} [a_i,b_i],\ a_i,b_i\in\mathbb Q\ \forall i=1,...,n\} \end{eqnarray}$ dann ist [edit] die Menge ist falsch! es heißt richtig: A leer oder endliche Vereinigung von Intervallen mit rationalen Randpunkten. [/edit] Behauptung $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra. nun bin ich mir nicht ganz schlüssig.. In der Aufgabe ist jedes Element aus $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ entweder die leere Menge oder eine endliche Vereinigung von Intervallen mit rationalen Endpunkten. Die Intervalle müssen nicht zusammenhängend sein, es dürfen Lücken existieren und sie müssen eine echten Intervalle sein, d.h. sie dürfen einpunktige Intervalle sein. Meine Idee für ein Gegenbeispiel kommt aus der Analysis 1: Q liegt dicht in R. D.h. es existiert für jede rationale Zahl eine majorisierte irrationale Zahl. Da jedes endliche Intervall als Vereinigung disjunkter Intervalle geschrieben werden kann, lässt sich auch $\begin{eqnarray} [0,1] =[0,m]\cup (m,1] = [0,m] \cup [m+1,1] \end{eqnarray}$ (zur Verdeutlichung für die Wahl und Funktion der m+1) für ein beliebiges $\begin{eqnarray} m\in [0,1]\cap\mathbb Q \end{eqnarray}$ . Nach obiger Feststellung ist dann $\begin{eqnarray} m+1\in[0,1]\cap \left( \mathbb R \setminus \mathbb Q \right) \end{eqnarray}$ . Damit würde schon das Intervall [0,1], also die Grundmenge, nicht in $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ enthalten sein. Habe ich hier irgendwo eine Denklücke/-fehler oder ist die Aufgabe damit schon bewältigt?! Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe so leicht zu lösen sein soll. Dies war eine Klausuraufgabe jeweils im Jahr 2010 wie auch im Jahr 2011 (Scheinklausur Analysis 3). Im Jahr 2010 war sogar noch die Frage ob diese Menge ein Ring sei. Liebe Grüße und vielen Dank für die bereitwillige Hilfe :-)
03.03.2012, 22:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh nicht ganz was du tust, aber natürlich ist [0,1] Element in $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ , wähle einfach n = 1 und a_1 = 0 und b_1 = 1. $\begin{eqnarray} [0,1] =[0,m]\cup (m,1] = [0,m] \cup [m+1,1] \end{eqnarray}$ Da klafft doch eine Lücke mit Breite 1 zwischen den beiden Intervallen, und das ist nur für m = 1 wirklich das Intervall [0,1]. Aber ich denke auch nicht, dass es eine Sigma-Algebra ist, allerdings würde ich eine abzählbare Vereinigung nehmen, um es zu widerlegen.
03.03.2012, 22:50	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} [0,1]\in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ ist ja wohl klar, weil $\begin{eqnarray} 0,1 \in \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . Ich denke mal bei der Definition fehlt irgendwas, denn endliche Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen, also ist $\begin{eqnarray} \big([0,\frac12 ]\cup [1]\big)^C=(\frac12 , 1) \notin \mathcal A \end{eqnarray}$ .
04.03.2012, 11:11	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Anhang mal die komplette aufgabe. Ich dachte egtl. dass man bei [m+1,1] das "m+1" so klein wählt, dass $\begin{eqnarray} [0,1] \setminus \left( [0,m] \cup [m+1,1] \right) = \emptyset \end{eqnarray}$ und dann ist diese m+1 irrational. [edit] und ja.. es ist klar, dass [0,1] in der Menge liegt.. da dies eine endliche Vereinigung mit rationalen Endpunkten darstellt. [/edit] Aber @Ungwiss dein Beispiel wäre ein geeignetes Gegenbeispiel. Allerdings müsste dies noch weiter ausformuliert werden, warum (1/2 , 1) nicht als endliche Vereinigung von Intervallen mit rationalen Endpunkten geschrieben werden kann. klar ist, nimmt man die nächst größere rationale Zahl.. d.h. wähle $\begin{eqnarray} inf(\frac{1}{2},1) \in\mathbb Q \end{eqnarray}$ dann ist mindestens eine Lücke vorhanden, in der nur irrationale Zahlen liegen, die durch Intervalle mit rationalen Endpunkten nicht erfasst werden können. aber so wenig für so viele punkte?! [edit] ich kanns mir einfach nicht vorstellen, dass die Aufgabe in weniger als 5min für 9 Punkte zu beantworten gingen.. Beim erneuten Durchlesen der Aufgabe ist mir aufgefallen, dass die Intervalle nicht zwingend abgeschlossen sein müssen. Damit wäre das Beispiel doch kein Gegenbeispiel. ----------------------------------------------------------- Angebot einer Lösung des 2. Axioms (für $\begin{eqnarray} A\in\mathcal A\Rightarrow A^c\in\mathcal A \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} A\in\mathcal A \end{eqnarray}$ beliebig gewählt, dann gilt: oBdA sei A endliche Vereinigung abgeschlossener Intervalle mit rationalen Endpunkten: $\begin{eqnarray} A^c = \left(\bigcup\limits_{i=1}^{n} [a_i,b_i]\right)^c = \bigcap\limits_{i=1}^{n} [a_i,b_i]^c = \bigcap\limits_{i=1}^{n} [0,1]\setminus [a_i,b_i] \end{eqnarray}$ Nun gelte weiter oBdA $\begin{eqnarray} 0\leq a\leq a_i\leq b_i\leq 1 \end{eqnarray}$ , dann folgt: $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{i=1}^{n} [0,1]\setminus [a_i,b_i] = \bigcap\limits_{i=1}^{n} [0,a_i) \cup (b_i,1] \underbrace{= [0,a) \cup (b,1] \in\mathcal A}_{falsch} \end{eqnarray}$ Für offene und halboffene Intervalle ändert sich nicht viel, nur dass die hier halboffenen Intervalle dann abgeschlossen sein werden. Naja..nun mal drüber nachdenken, habe ich jeden möglichen Punkt hierin erfasst? Angenommen wir betrachten das Beispiel von vorhin, dann haben wir $\begin{eqnarray} ([0,\frac{1}{2}]\cup[1])^c= (\frac{1}{2},1)=\left(\underbrace{[0,0)}_{=\emptyset} \cup (\frac{1}{2},1]\right) \cap \left([0,1) \cup \underbrace{(1,1]}_{=\emptyset}\right) \end{eqnarray}$ gut.. hier ist zu sehen, dass meine letzte zeile falsch ist. [gelöscht] also..ich halte mal fest: die Menge ist eine Algebra, jedoch keine Sigma-Algebra.
04.03.2012, 13:01	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Nen Widerspruch zur Komplementeigenschaft kriegst du wohl nicht hin, denn nun würde ich sagen dass sie stimmt. jetzt gehts mit der Strategie von IfindU. Mit Induktion kann man ja noch vorher zeigen, dass der Rand einer endlichen Vereinigungen von Intervallen mit rationalen Endpunkten nur rationale Zahlen enthält, wenn das nicht ohnehin klar ist. Dann gibt es wegen der Dichtheit von Q in R zu jedem n€IN ein rationales q_n mit max{sqrt(2)-1-1/n, 0}<q_n<sqrt(2)-1 Es ist $\begin{eqnarray} \bigcup_{n=1}^\infty\underbrace{[0, q_n]}_{\in\mathcal A}=[0,\sqrt{2}-1)\notin\mathcal A \end{eqnarray}$
04.03.2012, 22:21	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
jo..ich hab mir nun das so gedacht: Betrachte ein offenes Intervall mit irrationalen Randpunkten wie z.B. (p,q) aus der Dichtheit in R lässt sich nun folgern, dass für jedes dieser irrationalen zahlen eine konvergente folge mit ausschließlich rationalen gliedern existiert. nun kann ich eine abzählbare Familie erschaffen und darüber vereinigen (3. Axiom der sigma-Algebra nachtesten) nun gilt allerdings, dass die abzählbare Vereinigung gerade dieses offene Intervall (p,q) ist. Und dies liegt nicht in script-A :-) Hier nochmal in tex $\begin{eqnarray} Sei (p,q)=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} [p_k,q_k]<br /> p_k,q_k\in\mathbb Q\forall k \Rightarrow A_k:=[p_k,q_k]\in\mathcal A\forall k<br /> \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} [p_k,q_k] =(p,q)\notin\mathcal A \end{eqnarray}$
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05.03.2012, 06:11	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Beweis] Ist folgende Menge eine sigma-Algebra? Idee: Mit $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_1=b_1=1 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \{1\} = [1;1] \in \mathcal A \end{eqnarray}$ . Wäre $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ eine Mengen-Algebra (nicht einmal $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra), so wäre $\begin{eqnarray} A^C = [0;1) \in \mathcal A \end{eqnarray}$ . Die Darstellung als definierende endl. Vereinigung ergibt, dass jedes dieser $\begin{eqnarray} A \in \mathcal A \end{eqnarray}$ ein max. Element $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} A \cap \mathbb Q \end{eqnarray}$ hat. Für obiges $\begin{eqnarray} A^C = [0;1) \end{eqnarray}$ erkenne mit $\begin{eqnarray} x < \frac{1+x}{2} \end{eqnarray}$ , dass es ein 'grösseres' Elt. aus $\begin{eqnarray} A^C \cap \mathbb Q \end{eqnarray}$ gibt, mit Widerspruch. Womit obiges Bsp. nicht einmal endl. Mengenalgebra wäre, schon garnicht $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra. PS.: Mich stören irgendwie die topologischen Argumente ...
05.03.2012, 10:04	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
[0,1) ist als Intervall mit rationalen Endpunkten offensichtlich in A, ich verstehe deine Argumentation nicht. Die Behauptung mit dem maximalen Element ist jedenfalls falsch. Edit: achte drauf dass die Definition im 1. Post unvollständig ist.
05.03.2012, 16:03	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup, die Aufgabe wurde 'erweitert' auf Vereinigung irgendwelcher Intervalle. Dann zieht das max.Element nicht.

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