induzierte Topologie

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03.03.2012, 22:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
induzierte Topologie Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (X,d) \end{eqnarray}$ ein metrischer Raum. Dann induziert ja die Metrik eine Topologie auf X und zwar derart, daß halt als offene Mengen diejenigen Teilmengen von X erklärt werden, die bezüglich der Metrik offen sind. Also ist die durch die Metrik d induzierte Topologie I auf X nichts Anderes als die Menge $\begin{eqnarray} I:=\left\{U\subseteq X~\|~\text{U offen bzgl. d}\right\} \end{eqnarray}$ . So weit, so gut. Inwiefern stimmt nun diese Topologie I mit folgender Menge überein (wie ich es mehrfach gelesen habe): $\begin{eqnarray} \left\{U\subseteq X~\|~\text{U ist Vereinigung von offenen Kugeln}\right\}=:I' \end{eqnarray}$ ? Das habe ich noch nicht ganz durchblickt. Meine Ideen: Im Grunde müsste ich wohl einfach nur die Identität I=I' der beiden Mengen zeigen. Aber das will mir nicht gelingen. " $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ ": Sei $\begin{eqnarray} A\in I \end{eqnarray}$ , dann ist A also eine offene Menge. Das bedeutet, es gibt für jedes $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \varepsilon\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ , sodaß $\begin{eqnarray} B(a,\varepsilon)=\left\{x\in X~\|~d(a,x)<\varepsilon\right\}\subseteq A \end{eqnarray}$ . Mir ist aber nicht klar, wie daraus folgen soll, daß $\begin{eqnarray} A\in I' \end{eqnarray}$ . Die Rückrichtung ist mir noch ganz unklar.
03.03.2012, 22:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast um jedes Element eine offene Kugel und willst zeigen, dass die ganze Menge aus einer Vereinigung offener Kugel besteht - was passiert denn wenn du deine offenen Kugeln von eben vereinigst?
03.03.2012, 22:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergibt das dann die Menge A?
03.03.2012, 22:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja wieder zwei Richtungen zeigen, wenn du es ausführlich haben willst, aber in der Kurzfassung: Du vereinigst alle Kugel um alle Elemente, insb. sind alle Elemente in der Vereinigung und damit die ganze Menge. Und da alle Kugeln nach Definition noch in A drin liegen bekommst du auch nicht mehr.
03.03.2012, 23:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Rein beweistechnisch kann ich das nachvollziehen. Vorstellen kann ich mir das irgendwie nicht. Aber ich machs lieber nochmal ausführlich, in Worten: Sei also A in I. A ist also offen und für jedes Element aus A gibts eine Epsilonkugel um a, die in A enthalten liegt. Vereinige diese Kugeln und setze A gleich dieser Kugeln. Beweis, dass die Menge A und die Vereinigung der Kugeln identisch sind: Dann gilt für ein Element aus A, daß es in einer der Kugeln drin liegt, also auch in der Vereinigung der oben beschriebenen Kugeln. Liegt umgekehrt ein Element in der Vereinigung der Kugeln, dann in einer der Kugeln. Weil A nach Voraussetzung offen ist, liegt die Kugel in A und damit das Element in A. Alles in allem folgt also, daß A in I' liegt. Nun die andere Richtung. Sei B ein Element aus I', also Vereinigung von offenen Kugeln. Daraus muss jetzt irgendwie folgen, dass B offen ist. Das fehlt mir jetzt noch... edit: Achso, sei B in I'. Dann ist B Vereinigung offener Kugeln. Dann ist jedes Element b von B in einer der offenen Kugeln. Anderseits ist ja aber auch jedes Element z in einer offenen Kugel in der Vereinigung der offenen Kugeln und damit aufgrund der Voraussetzung in B. Also gibts um jedes b in B ein epsilonkugel, die in B liegt und deswegen ist B offene Menge. Damit ist B in der Menge I. Stimmt das so?
03.03.2012, 23:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
B ist die Vereinigung offener Kugeln, d.h. jedes Element liegt in mindestens einer dieser Kugeln, dieser offenen Kugeln - was findest du dann?
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03.03.2012, 23:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
achso! offene kugeln sind ja offene mengen, dann findet man eine kugel um das element, die ganz in der kugel liegt. diese kugel (also die die zuerst da war :-)) liegt in der Vereinigung und diese ist ja Teilmenge von B. also gibts ne epsilonkugel um jedes element von B die in B liegt, also ist B offen.
03.03.2012, 23:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
03.03.2012, 23:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
ach, mensch schön. dankesehr manchmal braucht man einfach einen schuppser oder auch zwei oder drei und dann kommen die sachen ans licht, die man eigentlich weiß.

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