Komplexe Zahlen mit j^3 j^4 etc

04.03.2012, 09:39

Pit

Komplexe Zahlen mit j^3 j^4 etc

Moin Moin,

ich hab noch mal ne Frage zu den Komplexen Zahlen

ich habe zum Beispiel folgende Aufgabe

Bringe den folgenden Ausdruck für die komplexe Zahl z in kartesiche sowie in Polarform

$\begin{eqnarray*} z = \frac{1 + j -2j^{2} +3j^{3} -4j^{4} }{2 + j -j^{2}} \end{eqnarray*}$

ich weiss nicht so wirklich wie ich da ran gehen muss

also j^2 = -1 , das ist mir bekannt (aber wie verhält es sich bei den anderen ? ist j^4 dann +1 ? oder wie behandelt man das ?

genau so weiss ich nicht recht wie ich das generell rechnen muss , rechne ich im zähler und dann im nenner ?

also hab ich im Zähler 4 komplexe Zahlen die ich addiere/subtrahiere ? und dann durch den nenner dividiere ?

axo, es muss hier keiner Lösung vorsagen, sondern gehts mir um den Weg die Lösungen habe ich

04.03.2012, 09:51

wischl

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j^4 ist tatsächlich 1, denn:
$\begin{eqnarray*} j^4 = (j^2)^2 = (-1)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

j^3 kannst du als j*j^2 schreiben - wie es weitergeht, dürfte klar sein.

Damit kannst du Zähler und Nenner in die kartesische Form bringen, stehst aber immer noch vor dem Problem, dass du durch eine komplexe Zahl dividieren musst. Dafür gibt es den Trick, mit der komplex Konjugierten (d. h. Vorzeichen des Imaginärteils umdrehen) des Nenners zu erweitern. Dadurch wird der Nenner reell.

04.03.2012, 10:12

Pit

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mmh dann komme ich erstmal auf

$\begin{eqnarray*} \frac{-4 +j}{3 + j} \end{eqnarray*}$

und wenn ich dann mit der komplex konjugierten erweiter (also 3 -j)

komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{-11 +7j}{8} \end{eqnarray*}$

was nicht so wirklich richtig aussieht
wo liegt mein fehler ?

04.03.2012, 10:31

wischl

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Du hast dich zunächst mal beim Vereinfachen des Zählers verrechnet: -2*j^2 = 2, -4*j^4 = -4. Damit kommst du für den Realteil des Zählers schon mal auf -1.
Die Summanden, bei denen das j stehen bleibt, sind j und 3j^3 = 3*(j*j^2) = -3j, insgesamt also -2j.

Den Nenner hast du richtig vereinfacht, beim Erweitern bist du aber mit den Vorzeichen durcheinandergekommen: Benutze (a+b)*(a-b) = a^2-b^2. Im Nenner muss also stehen: (3+j)*(3-j) = 3^2 - j^2 = 9+1 = 10.

04.03.2012, 10:43

Pit

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Zitat:

Original von wischl

Die Summanden, bei denen das j stehen bleibt, sind j und 3j^3 = 3*(j*j^2) = -3j, insgesamt also -2j.

ja genau da war mein Fehler, ich hab aus dem j^3 auch -1 gemacht

vielen dank für die Hilfe und Erklärung Gott

dann werde ich mich jetzt mal an die anderen aufgaben machen

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