Differenzierbare Atlanten

04.03.2012, 09:43	wischl	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbare Atlanten Hallo, Jänich schreibt in Vektoranalysis: "Zwei differenzierbare Atlanten A und B nennen wir äquivalent, wenn auch $\begin{eqnarray} A \cup B \end{eqnarray}$ differenzierbar ist." - beim Beweis, dass es sich hier tatsächlich um eine Äquivalenzrelation handelt, stehe ich etwas auf dem Schlauch: Zeigen will ich: $\begin{eqnarray} A \cup B \mbox{ db. und } B \cup C \mbox{ db.} \Rightarrow A \cup C \mbox{ db.} \end{eqnarray}$ für differenzierbare Atlanten A, B, C. Also betrachte ich die Karten $\begin{eqnarray} (U, a) \in A,~(V, b) \in B,~(W, c) \in C \end{eqnarray}$ . Jänich schreibt, ich könnte, um zu zeigen, dass der Kartenwechsel von a nach c ein Diffeomorphismus ist, b zu Hilfe nehmen. Das ist mir zum Teil auch klar: $\begin{eqnarray} b \circ a^{-1} \big\|_{a(U \cap V)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \circ b^{-1} \big\|_{a(V \cap W)} \end{eqnarray}$ sind Diffeomorphismen, also auch $\begin{eqnarray} c \circ a^{-1} \big\|_{a(U \cap V \cap W)} \end{eqnarray}$ . Nun habe ich aber immer noch diesen eingeschränkten Definitionsbereich - eigentlich muss ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} c \circ a^{-1} \big\|_{a(U \cap W)} \end{eqnarray}$ ein Diffeomorphismus ist. Danke schon mal!
04.03.2012, 15:53	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Was du hier brauchst, ist folgender Fakt: Ist $\begin{eqnarray} f: U \to W \end{eqnarray}$ ein lokaler Diffeomorphismus (d.h. für jeden Punkt gibt es eine Umgebung V, so dass f eingeschränkt auf V ein Diffeomorphismus auf das Bild f(V) ist) mit U und W=f(U) offen und ist f bijektiv, dann ist f ein Diffeomorphismus. (trivial) Dies lässt sich auf die vorliegende Situation anwenden, indem man $\begin{eqnarray} a(U\cap W) = \bigcup_{V\in \mathcal B} a(U\cap V\cap W) \end{eqnarray}$ benutzt. Hoffe das hilft.
04.03.2012, 20:02	wischl	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke! Ich glaub, jetzt hab ichs: $\begin{eqnarray} w := c \circ a^{-1} ~:~ a(U \cap W) \rightarrow c(U \cap W) \end{eqnarray}$ ist nach Definition der Karte ein Homöomorphismus (also insbesondere bijektiv) zwischen offenen Mengen (a und c sind ja Karten). Für alle Kartengebiete V von Karten aus B ist $\begin{eqnarray} w \big\|_{a(U \cap V \cap W)} \end{eqnarray}$ ein Diffeomorphismus. B ist ein Atlas, die Kartengebiete seiner Elemente überdecken also den ganzen Raum, somit ist w ein lokaler Diffeomorphismus, insgesamt also ein Diffeomorphismus. Stimmt so, oder?
04.03.2012, 21:45	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »