Welche Struktur hat die Galoisgruppe?

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la_luna Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Struktur hat die Galoisgruppe?
Hallo,

man betrachte das Polynom

mit seien ganz für p=2 und p=3.

Weiter sei

und seien unterschiedliche und irreduzible Polynome mit ist ungerade.

Behauptung:
Dann enthält die Galoisgruppe von über eine Transposition.

Ich habe leider keinen blassen Schimmer, warum das so ist.
Daher wäre ich euch zu Dank verpflichtet, wenn ihr mir das erklären könntet.

Ciao!
la_luna
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Struktur hat die Galoisgruppe?
hallo laluna,
wie du weisst, geht es ja bei den galoisgruppen darum, wie die möglichen permutationen der nullstellen von einem gegeben polynom aussehen, und hier ist zu zeigen, dass es nur eine mögliche
vertauschung gibt, die übrigen nullstellen sozusagen fest sind.
Und dies kann man an dem produkt g=(1+x+x^2)*g_1*g_2* ...*g_t erkennen, weil die g_i´s ja
unterschiedlich und irreduzibel sind, kann man die nullstelllen nicht untereinander permutieren,
sondern es bleibt für die einzig mögliche transpostion der teil (1+x+X^2) über, und das wäre
hier noch zu zeigen.
gruss ollie3
 
 
la_luna Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ollie3,

danke für deine Ausführungen.

x²+x+1 mod 2 hat keine Nullstelle, ist also irreduzibel. Aber in einem Erweiterungskörper von Q hat x²+x+1 zwei Nullstellen weil es ein Polynom vom Grad 2 ist. Ist das richtig?

Also das was du geschrieben hast, finde ich ja irgendwie einleuchtend. Das Problem ist, es mathematisch formal aufzuschreiben. Ich muss also jetzt zeigen, dass man die Nullstellen der nicht untereinander permutieren kann, d.h. wenn ist und die Nullstellen von in einem Erweiterungskörper sind, dann existiert kein , so dass gilt für alle und . Ich habe nur die Information, dass irreduzibel ist und für ein . Wie ich obiges schlussfolgern soll alleine aus diesen Informationen, weiß ich allerdings nicht...

Für das erste Polynom ist der Automorphismus einfach die komplexe Konjugation, oder?

Ciao
la_luna
la_luna Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich bin leider nicht weitergekommen bisher.
Wäre echt nett, wenn ihr mir helfen würdet!

Kann man sagen, dass die Galoisgruppe von f die Gestalt (a b)(...)...(...) hat, wobei die hinteren Zykel eine ungerade Länge haben?
Wie kann man daran sehen, dass sie eine Transposition enthält?

Ciao,
la_luna
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo la_luna,
sorry, das ich mich erst jetzt melde, ich glaube du bringst da jetzt etwas
durcheinander. also die galoisgruppe von f hat nur 2 elemente, einmal
die identische abbildung und einmal wo die nullstellen von 1+x+x^2 vertauscht
werden, und das ist dann die transposition, denn wie gesagt alle anderen
nullsteillen bleiben ja fest.
gruss ollie3
la_luna Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ollie3,

Ich habe dazu noch eine Frage:
Warum bleiben die anderen Nullstellen denn fest?
Du hast gestern geschrieben: Die sind irreduzibel und sie sind verschieden, daher kann man die Nullstellen der nicht untereinander permutieren.
Das ist mir ehrlich gesagt gar nicht klar. Wie beweist man das?

Ciao,
la_luna
la_luna Auf diesen Beitrag antworten »

*push*

Hallo,

ich bin immer noch an einer Antwort interessiert. Ich glaube nicht, dass die Galoisgruppe nur zwei Elemente hat. Sie hat doch so viele Elemente, wie der Grad der Körpererweiterung ist und das ist der Grad des in Frage stehenden Polynoms über Q und der ist größer als 2.

Wie lautet eine stichhaltige Begründung dafür, dass die 'anderen' Nullstellen, also die Nullstellen von f , die keine Nullstellen von 1+x+x² sind, fest bleiben, d.h. nicht permutiert werden?

Die Ausgangsfrage dieses Threads war:

Warum besitzt Gal(f|Q) eine Transposition?


Danke

Viele Grüsse
la_luna
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo la_luna,
ich bin mir meiner sache jetzt auch nicht mehr sicher, Am besten wir fragen
unseren experten galoisseinbruder, der kann das bestimmt richtig beantworten.
gruss ollie3

PS. Man wird für den beweis die kongruenzgleichung mod 2 auch noch ausnutzen
müssen
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Struktur hat die Galoisgruppe?
geloescht
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Welche Struktur hat die Galoisgruppe?(andere)
Zitat:
Original von la_luna
Hallo,
man betrachte das Polynom
mit
seien ganz für p=2 und p=3.

Weiter sei

und seien unterschiedliche und irreduzible Polynome mit ist ungerade.

Behauptung:
Dann enthält die Galoisgruppe von über eine Transposition.

Ich habe leider keinen blassen Schimmer, warum das so ist.
Daher wäre ich euch zu Dank verpflichtet, wenn ihr mir das erklären könntet.
la_luna


Ich habe leider keinen blassen Schimmer, warum das so ist.
Hmm....
Die Frage ist auch unklar.

Was heisst für p=2 und p=3?
Mit p ist Charkteristik des Koerpers gemeint nehm ich an?
Also in Z_2[x] gibt es nur 1 irreduzbles Polynom naemlich x^2+x+1, dessen 2 Nullstellen a und b logo nurch eine Transposition vertauscht werden koennen.
Also es geht un Galoisgruppen über endliche Körper? Oder ich stehe auf m SchlauchAugenzwinkern
Dann gibt es diese diese andern g_1 g_t gar nicht...
Irreduzible Polynome über endlichen Körpern sind separabel.
Endliche Erweiterungen endlicher Körper sind stets zyklisch und die Galoisgruppe wird vom Frobenius-Automorphismus erzeugt.
So etwas besser ?
JiBi
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
test
test
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: test
hallo juergen,
gut, das du dich zu wort gemeldet hast, aber bei der aufgabenstellung hatte
sich la_luna vertippt, es sollte natürlich heissen a_i sei ganz für i=2 und i=3
und nicht p=2 und p=3, sonst hätte die aufgabe ja überhaupt keinen sinn,
und ich bin immer noch der meinung, das die einzige transposition bei den nullstellen von 1+x+x^2 liegt, aber wir sollten besser einen experten fragen,
also tmo oder galoisseinbruder.
gruss ollie3
juergen007 Auf diesen Beitrag antworten »
Galos sein Bruda
Zitat:
Original von ollie3
hallo juergen,
gut, das du dich zu wort gemeldet hast, aber bei der aufgabenstellung hatte
sich la_luna vertippt, es sollte natürlich heissen a_i sei ganz für i=2 und i=3
und nicht p=2 und p=3, sonst hätte die aufgabe ja überhaupt keinen sinn,
und ich bin immer noch der meinung, das die einzige transposition bei den nullstellen von 1+x+x^2 liegt, aber wir sollten besser einen experten fragen,
also tmo oder galoisseinbruder.
gruss ollie3


Jo iwas war da komisch...
Wer ist denn galoisseinbruder??
Ich bin GaloisSeineReinkarnation Augenzwinkern
Wir müssen uns ma kennenlernen...

Übrigen schade, dass sein 200ter Geburtstag nicht etwas erwähnt wurde..
GSK
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