continuous preferences are dense |
| 04.03.2012, 12:56 | Aestelle | Auf diesen Beitrag antworten » |
| continuous preferences are dense Hallo ich habe eine Frage zum Thema "continuous preferences are dense". (Ich verstehe, dass Y sind die rational numbers und X sind die real number. Und Y is a dense subset in X). Folgender Claim soll bewiesen werden: (Ich habe meine Fragen in Klammern dazugeschrieben). Claim: Let the binary relation "at least as good as" be a continuous preference relation on a convex set X subset equal R^n. I x is preferred to y, then there exists z element of X such that x is preferred to z is preferred to y. Proof: Let I be the interval connecting x and y. As X is convex, I is element of X. (understood) Now suppose the claim is not true. Than, for each z element of I, either z is at least as good as x of y is at least as good as z. (understood) Define the following two sequences {x_t} and {y_t} of points in I: Let x_0=x and y_0=y and let x_t is at least as good as x and y is at least as good as yt. (In meiner Vorstellung ist x der äußerste rechte Punkt, m der Punkt zwischen x und y. Und y der äußerste linke Punkt. Bedeutet x_t is at least as good as x, dass x_t noch weiter rechts außen ist, als x? Und bedeutet y is at least as good as y_t, dass y der äußerste linke Punkt ist?) Denote the middle point between x_t and y_t by m and observe that m is element of I. Hence m is at least as good as x or y is at least as good as m. (In meiner Vorstellung ist x der äußerste rechte Punkt, m der Punkt zwischen x und y. Und y der äußerste linke Punkt)? Und hier beginnen meine großen Vorstellungsprobleme: In the former case set (also: m is at least as good as x) x_t+1 =x_t (FRAGE: heißt das die Folge {x_t, x_t+1, x_t+2,...} konvergiert in Richtung m? Also in der Richtung von äußerst rechts in Richtung links) and y_t+1=yt (FRAGE: heißt das, die Folge (y_t, y_t+1, y_t+2,...) konvergiert auch von rechts nach links? Also y_t+1 ist weiter rechts, als y_t und y_t+1 konvergiert von rechts nach links?) In the latter case set, (also y is at least as good as m): x_t+1=x_t (FRAGE: heißt das die Folge {x_t, x_t+1, x_t+2,...} mit x_t+1 liegt weiter links als x_t, konvergiert von links nach rechts?) and y_t+1=m (FRAGE: heißt das, die Folge {y_t, y_t+1, y_t+2,...} mit y_t+1 liegt weiter rechts als y_t, konvergiert von links nach rechts?) The sequences x_t and y_t converge to the same point z (just observe that x_t and y_t become arbitrarily close to each other for t goes to infinity.(FRAGE: Nach dem, was einen Absatz weiter vorne steht, kann ich mir nun nicht vorstellen, wo z liegt? Wo liegt z?) By continuity of the preference relation "at least as good", z is at least as good as x and y is at least as good as z and by transitivity y is at least as good as x, a contradiction to the initial claim. (das verstehe ich wieder) Wäre super, wenn mir jemand meine Fragen beantworten könnte. vielen Dank! Meine Ideen: Ideen im Text und Fragen in Klammern. |
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