Topologie/ offene Abbildungen

04.03.2012, 13:48

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Topologie/ offene Abbildungen

Meine Frage:
Zeigen Sie:

Eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}_1),(Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$ ist genau dann offen, wenn...

(i) ...die Bilder einer Subbasis von $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ liegen.

(ii) ...für jedes $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(x)\Longrightarrow f(U)\in\mathcal{U}_2(f(x)) \end{eqnarray*}$

---------------
Ich schreibe noch ein paar Definitionen hierzu auf, damit klar ist, worauf ich mich beziehe:

Dabei bezeichnen wir eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ zwischen zwei topologischen Räumen $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}_1),(Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$ als offen, wenn das Bild jeder offenen Menge wieder offen ist.

Desweiteren bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_1(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}_2(f(x)) \end{eqnarray*}$ das Umgebungssystem von x bzw. f(x).

Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} U\subseteq X \end{eqnarray*}$ ist Umgebung von $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , wenn es eine Menge $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} x\in O\subseteq U \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Moin, moin! Hier erstmal mein Beweis zu

(ii):

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

Sei f offen, d.h. $\begin{eqnarray*} \left\{f(O)~|~O\in\mathcal{O}_1\right\}\subseteq \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}_1(x) \end{eqnarray*}$ , x beliebig, beliebig.
D.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} \tilde O\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} x\in\tilde O\subseteq U \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(\tilde O)\subseteq f(U) \end{eqnarray*}$ . Da f offen ist, gilt $\begin{eqnarray*} f(\tilde O)\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, daß $\begin{eqnarray*} f(U)\in\mathcal{U}_2(f(x)) \end{eqnarray*}$ .

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":

Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ gelte: $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}_1(x)\Longrightarrow f(U)\in\mathcal{U}_2(f(x)) \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}_1(x) \end{eqnarray*}$ , x beliebig, beliebig.
Dann gibt's ein $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O}_1: x\in O\subseteq U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)\in f(O)\subseteq f(U) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt doch aber insbesondere $\begin{eqnarray*} f(O)\in \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Ende

Stimmt das so?

(i) beweise ich später.

04.03.2012, 15:27

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hinrichtung passt so, bei der Rückrichtung würde ich noch etwas sagen, warum $\begin{eqnarray*} f(O) \end{eqnarray*}$ offen sein soll, denn momentan sieht es so aus, als ob es als Teilmenge einer offenen Menge sofort auch offen wäre.

04.03.2012, 15:43

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, komme ich gleich drauf zurück.

Zunächst versuche ich einen Beweis für (i):

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ .

Naja, diese Richtung erscheint mir trivial (auch, wenn ich das Wort ungerne benutze).
Wenn f eine offene Abbildung ist, bedeutet das, daß $\begin{eqnarray*} f(O)\in\mathcal{O}_2~\forall O\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ , da die Mengen aus einer Subbasis von $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ stammen, folgt damit schon die Behauptung.

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ eine Subbasis von $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} S\in\mathcal{S} \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} f(S)\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist jeder endliche Durchschnitt gemäß der Definition des Begriffs "Topologie" ebenfalls in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ enthalten, also $\begin{eqnarray*} \bigcap_{j=1}^{n}f(S_j)\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Weiter ist dann auch jede Vereinigung solcher endlichen Schnitte in der Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ enthalten (ebenfalls nach der Definition des Begriffs "Topologie"). Das bedeutet $\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=1}^{n}f(S_j)\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist doch $\begin{eqnarray*} f\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)\subseteq \bigcap_{j=1}^{n}f(S_j) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist doch

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_2\ni \bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=1}^{n}f(S_j)\supseteq \bigcup_{i\in I}f\left(\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)=f\left(\bigcup_{i\in I}\bigcap_{j=1}^{n}S_j\right)=f(O) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} O\in \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ .

(Denn jedes $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ lässt sich ja schreiben als Vereinigung endlicher Schnitte von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mathcal{S} \end{eqnarray*}$ n.V. Subbasis der Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ ist.)

04.03.2012, 16:42

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Du benutzt schon wieder, dass teilmengen offener mengen offen sein sollen...

Außerdem ist die behauptung auch falsch
http://matheplanet.com/default3.html?cal...ved%3D0CDQQFjAA

04.03.2012, 16:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du einen Tipp für mich, wie ichs dann beweisen kann?

Wo behaupte ich das denn?

Hat das vielleicht wieder was damit zu tun, dass wir verschiedene Begriffe für Umgebung benutzen?

04.03.2012, 16:52

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nahm an, dass du so begründest, dass f(O) offen ist. Sieh dir den link an, die Behauptung stimmt nicht, da gibts nichts zu beweisen.

Anzeige

04.03.2012, 16:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so meinte ichs auch.

Aber das stimmt nun nicht okay.

Kann man denn anders begründen, dass f(O) offen ist oder taugt der ganze Beweis nichts?

04.03.2012, 17:02

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man kann nicht anders begründen, dass f(O) offen ist, weil es da i.A. nicht sein wird. Die Hin-richtung hast du richtig gezeigt, die Rück-richtung kann man nicht beweisen, weil sie so nicht stimmt.

Bei der Hinrichtung solltest du dir aber nochmal die Indizes der Topologien anschauen, da ist wohl was verkehrt.

04.03.2012, 17:06

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Die Hinrichtung passt so, bei der Rückrichtung würde ich noch etwas sagen, warum $\begin{eqnarray*} f(O) \end{eqnarray*}$ offen sein soll, denn momentan sieht es so aus, als ob es als Teilmenge einer offenen Menge sofort auch offen wäre.

Hier fällt mir keine Begründung dafür ein, weshalb f(O) offen ist.

Die Begründung, dass f(O) Teilmenge einer offenen Menge ist, ist ja falsch.

04.03.2012, 17:10

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesem Beweis kommts mir so vor, als ob du zweimal das gleiche hingeschrieben hättest? Bei der Rückrichtung solltest du mit einer beliebigen offenen Menge U aus O_1 anfangen und dann darauf schließen, dass f(U) in O_2 leigt.

Eine Menge ist dann offen, wenn sie Umgebung von jedem ihrer Punkte ist.

04.03.2012, 17:24

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche die Rückrichtung:

Sei also $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ beliebig.

O ist Umgebung jedes ihrer Punkte.

Das heißt $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{U}_1(x)~\forall x\in O \end{eqnarray*}$ .

Nach Voraussetzung gilt dann:

$\begin{eqnarray*} f(O)\in\mathcal{U}_2(f(x))~\forall x\in O \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet es gibt eine Menge $\begin{eqnarray*} O'\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ , sodaß

$\begin{eqnarray*} f(x)\in O'\subseteq f(O)~\forall x\in O \end{eqnarray*}$ .

Dann sind doch aber O'=f(O)[/l], oder nicht und damit $\begin{eqnarray*} f(O)=O'\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$

04.03.2012, 17:43

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir wird nicht ganz klar, woher bei dir O' kommt, denn aus $\begin{eqnarray*} f(O)\in \mathcal{U}_2(f(x))\ \forall x\in O \end{eqnarray*}$ folgt erstmal nur für jedes $\begin{eqnarray*} x\in O \end{eqnarray*}$ die Existenz eines $\begin{eqnarray*} O'_x \in \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)\in O'_x\subseteq f(O) \end{eqnarray*}$

Wenn man das hat, kann man zeigen $\begin{eqnarray*} \bigcup_{x\in O} O'_x=f(O) \end{eqnarray*}$ .
Damit ist dann f(O) offen, als Vereinigung offener Menge.

04.03.2012, 17:46

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, Du hast Recht.

Ich meinte es so, habe es aber nicht so aufgeschrieben.

Vielen Dank.

----------

Ich bin immer noch verwundert, daß die eine Aussage falsch ist.

Sie steht so im Boto von Querenburg. Naja, okay..

Habe ich so auch noch nie erlebt. Big Laugh

Big Laugh

04.03.2012, 17:48

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich hatte auchmal ne Aufgabe aus dem Buch auf einem Zettel und die war dann auch falsch, bzw nicht lösbar xD.

04.03.2012, 17:52

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Frage, zum Thema "Homöomorphismus" diesmal.

Hier stellen oder neuer Thread?

04.03.2012, 17:54

Ungewiss

Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Thread ist besser, damit auch andere drauf aufmerksam werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »