Untergruppe von Z19 x Z19

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Juppie Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe von Z19 x Z19
Hallöchen,
hier habe ich eine Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob die Lösungen stimmen. Bei manchen Teilaufgaben weiß ich gar nicht wie ich rangehen soll. Bitte um Hilfe!


Aufgabe 1:



Es sei gegeben.

a) Wie viele Elemente hat U?
b) Ist U Normalteiler?
c) Gibt es einen Morphismus von Gruppen , der U als Kern hat?


Meine Lösungen:

a) Ich habe versucht das Erzeignis darzustellen, indem ich es immer wieder quadriere und nach 19 Schritten erhält man das Neutrale ([0],[0]).
Und weil das Erzeugnis so zusammen gesetzt ist:
und die Gruppenordnung anzeigt gilt:
|U|=19

b) Ich habe das so begründet, dass Z19 abelsch ist, deshalb auch Z19 x Z19 abelsch und die Untergruppe jeder abelschen Gruppe sind Normalteiler, deshalb U Normalteiler.

c) Der Kern bildet ja immer auf das Neutrale, hier ([0],[0]) ab. In der additien Untergruppe U bilder deshalb f(a,b)=3*a+b auf ([0],[0]) ab und ist der Gruppenhomomorphismus, muss ich noch zeigen, dass es einer ist?


Aufgabe 2:

M wie oben und

a) |R| ist Teiler von 19 * 19 = 361
b) Wie viele Elemente hat R?
c) Ist R Integritätsbereich?
d) Gibt es einen Ringhomomorphismus , der R als Kern hat?

Lösungen:

a) Hier hab ich meine Probleme mit.... ich hab das so gezeigt wie oben in der a, also dass es für '+' 19 Elemente hat und dann wars mir zu viel in '*' auch noch alle zu quadrieren und bin einfach davon ausgegangen dass man dazu auch 19 Elemente braucht und 19*19 ist ja 361.... aber keine Ahnung, das darf man wohl nicht so machen.

b) Also hier ist ja auch a klar dass |R| 361 teilt und Teiler von 361 sind nur 1, 19 und 361. Da 1 und 19 eindeutig zu wenig Elemente sind, wie man auch in A1 a) sieht muss |R| = 361 sein. Darf man hier so argumentieren?

c) Hier muss man ja zeigen dass es nullteiler frei (also Körper) ist. Ich hab leider keine Ahnung :-(

d) Hier hab ich mich gefragt: Was ist der Kern in einem Ring?? Weil ein Ring hat ja ein Einselement und ein Nullelement. Also hat es zwei Neutrale??Bitte diese Frage für mich beantworten, die ist sehr sehr wichtig für mich!

Bitte ein paar Tipps, dann versuch ich die Aufgabe weiter zu lösen.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe von Z19 x Z19
hallo juppie,
ich komme erstmal zu deiner letzten frage: ein ring selbst kann keinen kern haben,
sondern der gesuchte homomorphismus, und da geht es darum, welche elemente auf 0 (und nicht auf 1) abgebildet werden.
Und ansonsten, bei der ersten aufrgabe scheint fast alles richtig zu sein.
Bei der 2. aufgabe, wenn du bei b) recht hättest, würde das ja heissen, dass
man mit einem einzigen element (3,10) sämtliche 361 elemente, also den
kompletten ring erzeugen könnte,(da bin ich mir nicht sicher), dass würde dann
heissen, dass der ring zyklisch erzeugt ist, und wir einen intgritätsring hätten.
Darüber muss ich erst noch nachdenken.
gruss ollie3
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich muss hier in einigen Punkten ollie3 widersprechen:
zu 1a) Wieso multiplizierst du in dieser additiven Gruppe?
Mit 1b) und 1c) bin ich einverstanden. Wenn du dir unsicher bist ob etwas in Hom. ist, ist es mMn sinnvoll das zumindest aus Übungsgründen nachzuweisen.

2b) Wieso sind 19 zu wenig? (habs selber noch nicht überprüft)
2c)Körper zu sein beinhaltet mehr als Nullteilerfreiheit. Und sollt deine Behauptung bzgl. der Mächtigkeit stimmen ist es auch kein Körper.
zur 2d) noch die Anmerkung dass Kerne von Ringhoms. Ideale sind.

@ollie3:
Zitat:
dass würde dann heissen, dass der ring zyklisch erzeugt ist, und wir einen intgritätsring hätten.

Ich verstehe nicht was du damit sagen willst.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

zu 2d)
Ich würde dann sagen, dass es keinen gibt, ich habs verschiedene Möglichkeiten ausprobiert und auf [0] bildet für <([3],[10])> wirklich nur f(a,b)=3a+b ab.
Aber dann gilt noch nicht mal, dass f(1)=1:

Frage: Nehme ich da f(1,1), f(1,0) oder f(0,1)

Es ist nur f(0,1)=1

Und die Regen f((a,b)*(c,d))=3*ac + bd lässt sich meiner Meinung nach auch nicht so verändern dass f(a,b)*f(c,d)= (3*a + b)*(3*c + d) = 9*ac + 3*ad + 3*bc + bd.

Stimmt das?

Hast du noch Tipps zu den anderen, die noch nicht ganz stimmen oder fehlen?
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort :-)

Zitat:
Original von galoisseinbruder
zu 1a) Wieso multiplizierst du in dieser additiven Gruppe?


Mit quadrieren meine ich hier dass <([3],[10])>² = <([6],[1])> also eben addiert, aber ich wusste nicht wie ich das ausdrücken soll, weil in der Definition heißt es ja sigma²... aber natürlich hab ich addiert....

Zitat:


2b) Wieso sind 19 zu wenig? (habs selber noch nicht überprüft)
2c)Körper zu sein beinhaltet mehr als Nullteilerfreiheit. Und sollt deine Behauptung bzgl. der Mächtigkeit stimmen ist es auch kein Körper.
zur 2d) noch die Anmerkung dass Kerne von Ringhoms. Ideale sind.



Danke für die Hinweise, muss da mal jetzt drüber nachdenken.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder

2b) Wieso sind 19 zu wenig? (habs selber noch nicht überprüft)
2c)Körper zu sein beinhaltet mehr als Nullteilerfreiheit. Und sollt deine Behauptung bzgl. der Mächtigkeit stimmen ist es auch kein Körper.
zur 2d) noch die Anmerkung dass Kerne von Ringhoms. Ideale sind.



2b) Weil es additiv ja schon 19 Elemente hat und dann hätte es multiplikativ keines, deshalb dachte ich es sind zu wenig, aber beweisen kann ichs nicht...


2d)

Würde es dann reichen zu zeigen, dass <([3],[10])> kein Ideal von M ist, weil zum Beispiel:

([3],[10]) * ([5],[1]) =([15],[10]) nicht in <([3],[10])> und damit die dritte Idealbedingung nicht erfüllt

?
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit quadrieren meine ich hier dass <([3],[10])>² = <([6],[1])> also eben addiert, aber ich wusste nicht wie ich das ausdrücken soll, weil in der Definition heißt es ja sigma²... aber natürlich hab ich addiert....

Da du auf diesem Ring sowohl Addition als auch Multiplikation definiert hast solltest du darauf achten die Bezeichnungen nicht durcheinander zu schmeißen. Zum Einen willst du wohl ein Element zu sich selbst addieren (auch mit zwei multiplizieren genannt) und nicht die gesamte Menge <(3,10)> . .

Gruppentheoretische Sachen formuliert man meist für multiplikative Gruppen. Wenn man stattdessen eine additive Gruppe hat muss man die Notation dementsprechend anpassen.
Zitat:
Würde es dann reichen zu zeigen, dass <([3],[10])> kein Ideal von M ist, weil zum Beispiel:

Addition und Multiplikation finden hier auf der selben Menge statt. Es kann also gut sein, dass die 19 Elemente bereits multiplikativ abgeschlossen sind.

Zitat:
2b) Weil es additiv ja schon 19 Elemente hat und dann hätte es multiplikativ keines, deshalb dachte ich es sind zu wenig, aber beweisen kann ichs nicht...

Das Erzeugnis eines Elements a eines Rings ist normaler als (a)=Ra definiert und damit immer ein Ideal.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir nen Tipp geben, wie ich die 2 a und b angehen soll?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

2a) Nutze aus, dass R eine additive Gruppe ist.
2b) (3,10) ist invertierbar. Was gilt für ein Ideal das ein invertierbares Element enthält?
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
2a) Nutze aus, dass R eine additive Gruppe ist.


Aber R ist doch ein Unterring? Das verstehe ich nicht.

Zitat:
Original von galoisseinbruder
2b) (3,10) ist invertierbar. Was gilt für ein Ideal das ein invertierbares Element enthält?


Wieso Ideal? Ich versteh nicht, ich muss doch erst mal ein Ideal haben oder? Sorry, ich steh' aufm Schlauch.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

(R,+) ist aber eine Gruppe. (deswegen ja additiv)

Zitat:
Wieso Ideal?

Deshalb:
Zitat:
Das Erzeugnis eines Elements a eines Rings ist normalerweise als (a)=Ra definiert und damit immer ein Ideal.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Also die 2b) hätte ich jetzt so gelöst:

Die Gruppe U=(<([3],[1])>,+) kenne ich aus 1a), ich habe dort alle Elemente der Gruppe aufgeschrieben und |U|=19.
Nehme ich jetzt ein Element aus (<([3],[1])>,*), zum Beispiel ([3],[10])² = ([9],[5]), dann gilt: und und deshalb muss (<([3],[1])>,+,*) mindestens 20 Elemente haben.
Weil Teiler von 361 aber nur 1, 19 und 361 sind ist |R|=361

Geht das so? Ich wusste nicht wie du das meinst, dass ich verwenden soll, dass es ne additive Gruppe ist.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Mal abgesehen dass ich nicht sehe wie das (<([3],[1])>,*), definiert sein soll ist die Idee richtig.
Du zeigst R hat mehr als 20 Elemente also nach a) 361.


Zitat:
Ich wusste nicht wie du das meinst, dass ich verwenden soll, dass es ne additive Gruppe ist.

Lagrange anwenden.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja meine nächste Frage wäre gewesen, ob Lagrange auch in Ringen und Unterringen/Idealen gilt. Also kann man Lagrange auf Ringe anwenden, indem man die additive Gruppe betrachtet?
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 2a) würde ich dann sagen, da
|M|=|R|*|M/R| muss |R| | |M| gelten und damit muss |R| Teiler von 361 sein.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2c)
Ich glaube, dass ein Körper nur die trivialen Ideale haben kann: Also {e} und ganz K.
Wenn das Ideal dann ein Inverses besitzen würde, dann wäre es ganz K und K ein Körper?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

ist eine Untergruppe also kann man Lagrange anwenden.
Für Ringe ist mir keine Verallgemeinerung von Lagrange bekannt.
Zitat:
Wenn das Ideal dann ein Inverses besitzen würde, dann wäre es ganz K und K ein Körper?

Die erste Hälfte ist ungut formuliert da du wohl enthält statt besitzt meinst (Letzteres steht für die Existenz eines Inversen zum Ideal) und die zweite Hälfte kann ich nicht nahvollziehen.

Ist denn Z19xZ19 nullteilerfrei?

P.S. Bitte keine Mehrfachposts. Das macht einen Thread unnötig lang und damit unübersichtlich. Du kannst deine Beiträge auch editieren.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

2c)

Z19xZ19 ist das Produkt zweier Körper.

Hat man ein
Dann ist und weil das eben wegen der Primzahl jeweils Körper sind hat a ein Inverses und b ein Inverses, es gibt in beiden keine Nullteiler.
Man findet deshalb auch keine Nullteiler in Z19 x Z19, weil man ja (a,b) auf (0,0) abbilden müsste, aber es gibt für a kein Element, das es auf 0 abbildet und für b genauso wenig, deshalb würd ich schon sagen, dass es nullteilerfrei ist.

?

Und da R nur Elemente aus Z19 x Z19 enthält gibt es darin auch keine Nullteiler?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist ? Und die beiden Elemente sind natürlich auch nicht invertierbar.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ja klar (1,0)*(0,1) = (0,0)

Also ist Z19 x Z19 nicht nullteilerfrei.
Danke für den Hinweis, ich muss noch weiter darüber nachdenken.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Z19xZ19 ist kein Integritätsbereich und kein Körper

Überträgt sich diese Eigenschaft auf das Ideal?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch bereits
gezeigt? verwirrt
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt |R|=361 !

zu 2d)

Es gibt ja den GHM f(a,b)=3a+b

Wenn ich jetzt die Bedingung f(1)=1 prüfen will, nehme ich dann (1,1),(1,0)oder (0,1)

Die Bedingung ist nur für (0,1) erfüllt.

Wenn sie nicht erfüllt ist, dann gibts auch keinen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Welche von den dreien
Zitat:
(1,1),(1,0)oder (0,1)

ist denn die 1 in diesem Ring.
Und ja falls man f(1)=1 fordert gibt es keinen solchen Hom.
Juppie Auf diesen Beitrag antworten »

(1,1) ist das Einselement oder?
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