d/dt durch partielle ableitungen ausdrücken

04.03.2012, 17:55

Susi101

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d/dt durch partielle ableitungen ausdrücken

hallo zusammen,

ich soll auf meinem ÜB folgendes machen:
Sei f:R² -> R eine diffbare Fkt. Drücke sie $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} f(t,t) \end{eqnarray*}$ durch die partiellen ableitungen von f aus und begründen sie ihre antwort.

ich weiß grad nicht genau was ich machen soll. mein tutor hat nur gesagt, dass man sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \int_t ^t \! u(s) \, ds \end{eqnarray*}$ berechnen kann??

hat jemand ne idee??

04.03.2012, 18:06

Cel

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RE: d/dt durch partiellen ableitungen ausdrücken

Zitat:

Original von Susi101
mein tutor hat nur gesagt, dass man sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \int_t ^t \! u(s) \, ds \end{eqnarray*}$ berechnen kann??

Also, da klingelt bei mir gar nichts. Was sollte dieses u sein? verwirrt

verwirrt

Stichwort, was zum Erfolg führt, ist mehrdimensionale Kettenregel.

04.03.2012, 19:18

Susi101

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RE: d/dt durch partiellen ableitungen ausdrücken
ich nehm an, dass u einfach ne funktion darstellen soll, aber ka....

hab mir grad die mehrdim. kettenregel angeschaut, aber ich weiß nicht wie ich die darauf anwenden soll?

04.03.2012, 19:28

Cel

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Guck dir mal den passenden Abschnitt bei Wikipedia an.

$\begin{eqnarray*} f(t,t) \end{eqnarray*}$ stellen wir als $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ dar mit $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2,~g(t) = \begin{pmatrix}t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist eben $\begin{eqnarray*} f(t,t) = f \circ g \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Also sind die Rollen von f und g des Artikels vertauscht. Ansonsten alles gleich.

04.03.2012, 19:52

Susi101

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also hab ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} f(t,t)=f'(t,t)=\frac{df}{dy1} *(g(x))g1'(x)+\frac{df}{dy2} *(g(x))g2'(x)= gradf(g(x))g'(x), wobei gradf=(\frac{df}{dy1} ,\frac{df}{dy2} \end{eqnarray*}$
stimmt das so???

04.03.2012, 20:07

Cel

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Zitat:

Original von Susi101
also hab ich dann $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} f(t,t)=\color{red}f'(t,t)\color{black}=\frac{df}{dy1}(g(x)) \cdot g_1'(x)+\frac{df}{dy2}(g(x)) \cdot g_2'(x)= grad~f(g(x)) \cdot g'(x) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} grad~f=(\frac{df}{dy1} ,\frac{df}{dy2}) \end{eqnarray*}$
stimmt das so???

Das rote darfst du nicht schreiben. f'(t,t) ist eine vektorwertige Funktion, im Wikiartikel steht dort ein h. Lass das weg. Außerdem stehen bei dir immer x. Dort müssen t stehen, g hängt von t ab, nicht von x.

Weiter: Was ist den g'(t)? Das kannst du explizit bestimmen.

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04.03.2012, 20:32

Susi101

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ah ja stimmt.

g'(t)=(g1'(t),g2'(t))
und das war schon alles??

04.03.2012, 22:05

Cel

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Nein. Ich habe das g doch oben aufgeschrieben. Du kannst die Ableitungen konkret (!) aufschreiben.

04.03.2012, 22:15

Susi101

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$\begin{eqnarray*} g'(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
so?
aber was ist die andere ableitung?

04.03.2012, 22:27

Cel

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g'(t) ist richtig. Die beiden partiellen Ableitungen kannst du nicht bestimmen. Weitere Informationen über f hast du nicht. Rechne nun noch das Skalarprodukt am Ende deiner Rechnung aus und du bist fertig.

04.03.2012, 22:39

Susi101

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f(g(t))*g'(t) = $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} )*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= t+t=2t \end{eqnarray*}$
mh, so?

04.03.2012, 23:17

Cel

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Lässt deine Konzentration nach? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oben schreibst du noch richtig grad f(g(t)) (= grad f(t,t)), hier wird es auf einmal f(t,t), dann (t,t). Du musst den Gradienten nehmen.

05.03.2012, 09:24

Susi101

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das mit dem gradient blick ich grad nicht.
$\begin{eqnarray*} gradf(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} )*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} =((\begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} t \\ 1 \end{pmatrix} )*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
so??

05.03.2012, 10:32

Cel

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Hmmm ... nicht raten. Wie kommst du denn auf so was?

Hier schreibst du doch vollkommen richtig:

Zitat:

Original von Susi101
$\begin{eqnarray*} grad~f=(\frac{df}{dy1} ,\frac{df}{dy2}) \end{eqnarray*}$

Jetzt DAS für den Gradienten einsetzen und fertig.

05.03.2012, 10:40

Susi101

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$\begin{eqnarray*} gradf(g(t))*g'(t)= ( \frac{df(g(t))}{dy1} ,\frac{df(g(t))}{dy2} )*(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

05.03.2012, 10:46

Cel

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Soo. Und jetzt setzt du wieder g(t) ein. Das kennen wir. Und dann das Skalarprodukt ausmultiplizieren.

05.03.2012, 10:52

Susi101

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$\begin{eqnarray*} = ( \frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} )}{dy1} ,\frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix})}{dy2} )*(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
wie berechne ich jetzt das skalarprodukt? zwischen dem gradient ist ja ein komma??

05.03.2012, 10:56

Susi101

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$\begin{eqnarray*} = ( \frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} )}{dy1} + (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ),\frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix})}{dy2} )+(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

so?

05.03.2012, 11:01

Cel

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Zitat:

Original von Susi101
$\begin{eqnarray*} = ( \frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} )}{dy1} ,\frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix})}{dy2} )*(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt. Deine Rechnung danach nicht. Wie ist denn die Matrizenmultiplikation definiert? Nichts anderes ist das hier. "Zeile mal Spalte" (Das Komma schreibt man dort nur zur Übersicht, könnte man auch weglassen)

$\begin{eqnarray*} (a, b) \cdot \begin{pmatrix}c \\ d \end{pmatrix} = a \cdot c + b \cdot d \end{eqnarray*}$

05.03.2012, 11:04

Susi101

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achsooo, demfall
$\begin{eqnarray*} = \frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} )}{dy1} + \frac{df(\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix})}{dy2} \end{eqnarray*}$

05.03.2012, 11:10

Cel

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Freude

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,f(t,t) = \frac{\partial f}{\partial y_1}(t,t) + \frac{\partial f}{\partial y_2}(t,t) \end{eqnarray*}$

Noch mal als Zusammenfassung (und auch, um dir noch ein wenig LaTeX zu zeigen, wie das mit den Indizes und den Ableitungsoperatoren geht).

05.03.2012, 11:22

Susi101

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okay, cool smile

smile

vielen dank smile

smile

05.03.2012, 20:13

tmo

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Dazu: Vielleicht kann Airblader diese Methode ja noch in seinem Workshop erwähnen smile

smile

Schließlich ist $\begin{eqnarray*} x^x = f(x,x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(u,v) := u^v \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 20:59

Airblader

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Ich habe es eingebaut. Danke für den Hinweis. Freude

Freude

air

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