Topologie: Homöomorphismus (gdw)

04.03.2012, 18:05

Gast11022013

Topologie: Homöomorphismus (gdw)

Meine Frage:
Zeigen Sie:

Eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn f stetig und offen ist.

Dabei gilt:

Eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$ zwischen topologischen Räumen heißt topologisch oder Homöomorphismus, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig sind.

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

Sei f also Homöomorphismus, also f stetig und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ stetig.

Sei $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ beliebig. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} f(O)\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ ; daß f stetig ist, ist ja klar.

Ich wäre jetzt einfach so darangegangen, daß ich sage:

Sei $\begin{eqnarray*} g:=f^{-1} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g\colon (Y,\mathcal{O}_2)\to (X,\mathcal{O}_1) \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}=f(O')\in \mathcal{O}_2~\forall O'\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist f offen.

Macht das Sinn?

(Rückrichtung dann.)

04.03.2012, 18:45

Ungewiss

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Das macht Sinn, wenn du noch das O' bei g^-1 ergänzt.

04.03.2012, 19:02

Gast11022013

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RE: Topologie: Homöomorphismus (gdw)

Zitat:

Original von Dennis2010
Da $\begin{eqnarray*} g\colon (Y,\mathcal{O}_2)\to (X,\mathcal{O}_1) \end{eqnarray*}$ stetig ist, ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}=f(O')\in \mathcal{O}_2~\forall O'\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ .

Okay, also [...] $\begin{eqnarray*} g^{-1}(O')=f(O')\in\mathcal{O}_2~\forall O'\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ [...]

Fehlt noch die Rückrichtung. ich hab zwar das gefühl, das eben schonmal gemacht zu haben, aber:

Sei also f offen und stetig. Dann ist noch zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} g:=f^{-1}\colon (Y,\mathcal{O}_2)\to (X,\mathcal{O}_1) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

$\begin{eqnarray*} \forall O\in\mathcal{O}_1: g^{-1}(O)=f(O)\in \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ , da f offen ist.

04.03.2012, 19:08

Ungewiss

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Auch das ist richtig.

04.03.2012, 19:13

Gast11022013

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Okay, dann war's ja doch leichter als gedacht.

Besten Dank. Wink

(Weitere Aufgaben werden folgen. Big Laugh

)

04.03.2012, 19:53

Gast11022013

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Würd gern noch Folgendes zeigen:

Ein Homöomorphismus $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$ induziert durch $\begin{eqnarray*} O\mapsto f(O) \end{eqnarray*}$ eine Bijektion $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1\to\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Ich muss also zeigen, daß dies eine Bijektion, also (i) injektiv und (ii) surjektiv ist.

Zu (i):

Seien $\begin{eqnarray*} O,O'\in\mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(O)=f(O') \end{eqnarray*}$ .

Da f bijektiv ist, gilt $\begin{eqnarray*} O=O' \end{eqnarray*}$ .

Zu (ii):

Zu zeigen ist, daß es für jedes $\begin{eqnarray*} f(O)\in \mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ (mindestens) ein Urbild in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ gibt.

Da f stetig ist, gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(O)\in \mathcal{O}_1~\forall O\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

Also gibts ein Urbild in $\begin{eqnarray*} \mathcal{O}_1 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} O\in\mathcal{O}_2 \end{eqnarray*}$ .

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