Verteilung 1/abs(X), X~normal

04.03.2012, 21:19

derC

Verteilung 1/abs(X), X~normal

Meine Frage:
Hallo,
wenn X normalverteilt ist wie ist dann 1/abs(X) bzw 1/X verteilt? Gibt es eine Formel für die Verteilung oder hat diese Verteilung sogar einen Namen?

Meine Ideen:
ich habe keine Ahnung

05.03.2012, 09:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von derC
wenn X normalverteilt ist wie ist dann 1/abs(X) bzw 1/X verteilt? Gibt es eine Formel für die Verteilung oder hat diese Verteilung sogar einen Namen?

Nicht das ich wüsste.

Ich nehme an, du redest von standardnormalverteilten $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ? Dann rechne es doch einfach aus: $\begin{eqnarray*} Y=\frac{1}{|X|} \end{eqnarray*}$ hat dann für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ offenbar die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_Y(t) = P\left( \frac{1}{|X|} \leq t\right) = P\left( |X| \geq \frac{1}{t}\right) = 2\left(1-\Phi\left(\frac{1}{t}\right)\right) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ wie üblich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung kennzeichnet. Die zugehörige Dichte ist dann

$\begin{eqnarray*} f_Y(t) = 2\frac{\dd}{\dd t}\left(1-\Phi\left(\frac{1}{t}\right)\right) = \frac{2}{t^2}\varphi\left(\frac{1}{t}\right) = \frac{2}{t^2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2t^2}} \end{eqnarray*}$ .

07.03.2012, 11:25

derC

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Vielen Dank HAL für die ausführliche Antwort, das hat mir sehr weiter geholfen.
Eine Frage habe ich aber noch. Wenn die Funktion etwas komplizierter ist, d.h. aus mehreren wachsenden und fallenden Teilen besteht, muss man ja auch anders vorgehen. Gibt es allgemeine Erklärungen im Netz wie man Funktionen von Zufallsvariablen mit Wk-Dichten brechnet? Ich konnte da nur einfache Beispiele finden bzw. Texte mit 5 Begriffen, die ich nicht kenne, in einem Satz.

07.03.2012, 15:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von derC
Wenn die Funktion etwas komplizierter ist, d.h. aus mehreren wachsenden und fallenden Teilen besteht, muss man ja auch anders vorgehen.

Vielleicht hast du es nicht gemerkt, aber genau das war hier doch schon der Fall: Es wurde im einzelnen

$\begin{eqnarray*} P\left( |X| \geq \frac{1}{t}\right) = P\left( X \geq \frac{1}{t}\;\vee\; X \leq -\frac{1}{t}\right) = P\left( X \geq \frac{1}{t}\right) + P\left(X \leq -\frac{1}{t}\right) \end{eqnarray*}$

gerechnet...

Insgesamt sollte das von dir wohl eine Anspielung darauf sein, dass die "gängigen" Transformationsformeln für Dichten direkt nur für bijektive Transformationen anwendbar sind? Das ist in der Tat richtig, deswegen habe ich sie hier für diese nichtbijektive Transformation $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{|x|} \end{eqnarray*}$ auch nicht angewandt, sondern bin direkt über die Defintion der Verteilungsfunktion gegangen. Augenzwinkern

08.03.2012, 08:23

derC

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danke
Ich dachte mir schon, dass du so etwas gemacht hattest. Nur war mir das Zusammensetzen nicht ganz klar gewesen und deshalb wollte ich noch ein paar Infos aus dir rauskitzeln smile

. Ich hatte nicht gesehen, dass es ja nur die Gegenwahrscheinlichkeit ist wegen der Umkehr der Größenrelation.
Jetzt ist alles sonnenklar, vielen Dank dafür. Hab' das Gefühl was total nützliches gelernt zu haben Freude

Ich geb' dir mal einen aus wenn man sich mal sieht. Augenzwinkern

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