Wie bekomme ich eine Variable unter eine Wurzel?

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05.03.2012, 11:19	JohnA	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bekomme ich eine Variable unter eine Wurzel? Hallo, ich arbeite mich noch immer durch die Extremwertaufgaben und bin jetzt auf folgendes Problem gestoßen: Meine Nebenbedinung sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} a = \sqrt{20² - b²} \end{eqnarray}$ In die Hauptbedingung eingesetzt ergibt das: $\begin{eqnarray} A = b \sqrt{20² - b²} \end{eqnarray*}$ Wie geh ich jetzt weiter vor bevor ich ableite. Wie bekomm ich das alleinstehende b unter die Wurzel? Mfg, John
05.03.2012, 11:22	Yushi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie bekomme ich eine Variable unter eine Wurzel? Also ich würde das b quadrieren und denn mit den Wurzelgesetzen drunter ziehen, sollte dann so aussehen: $\begin{eqnarray} A = \sqrt{b²(20²-b²)} \end{eqnarray*}$ Ich hab jetzt zwar den Rest von deiner Aufgabe nur so la la verfolgt, aber hoffe das bringt dich weiter
05.03.2012, 11:29	JohnA	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, naja wirklich schlau werd ich daraus nicht.. Die ursprüngliche Aufgabe ist: Ein Kreis mit einem Radius von 10 ist gegeben. In diesen Kreis soll ein Rechteck mit maximaler Fläche gelegt werden. NB: $\begin{eqnarray} a = \sqrt{20² - b²} \end{eqnarray}$ HB: $\begin{eqnarray} A = b \sqrt{20² - b²} \end{eqnarray*}$ Ist das denn überhaupt soweit richtig? Wenn ja, wie leite ich das ab? :/
05.03.2012, 11:38	Yushi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja also nach den Wurzelgesetzen gilt ja: $\begin{eqnarray} \sqrt{ab} = \sqrt{a} * \sqrt{b} \end{eqnarray}$ Und mit diesem Gesetz hab ich da b unter die Wurzel gezogen, ich hab es nämlich wie folgt umgeschrieben: $\begin{eqnarray} b = \sqrt{b²} \end{eqnarray}$ Ob die Formel so komplett stimmt kann ich pauschal nicht sagen, da müsst ich die Aufgabe von Vorne rechnen und mein Kopf hängt grad leider an seinem eigenen Problem :-/ Die Ableitung von "HB" sollte sein: $\begin{eqnarray} A'(b) = \frac{220²b-4b³}{2\sqrt{20²b²-b^4}} = \frac{20²b-2b³}{\sqrt{20²b²-b^4}} \end{eqnarray}$
05.03.2012, 13:12	JohnA	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, schwierig da jetzt zu folgen Ich versuch's nochmal von vorne..^^
05.03.2012, 13:48	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann sich die Sache leichter machen, wenn man beachtet, dass man statt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ maximieren kann. Das geht, weil für $\begin{eqnarray} A>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ eine streng monotone Funktion von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist. Macht man das, ist die Wurzel schon vor dem Ableiten weg.
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05.03.2012, 21:10	JohnA	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich kann nicht folgen... In einer Lösung habe ich nun folgendes gefunden: Ich versteh den letzten Schritt nicht, wie bekomm ich die Wurzel weg? [attach]23400[/attach] Edit: Scheinbar ist das nur eine andere Schreibweise... hilft mir also auch nicht wirklich weiter
05.03.2012, 21:39	Yushi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Wurzel musst du ja gar nicht wegbringen, auch nicht, wenn du das Maximum auf einem bestimmten Intervall berechnen willst. Einmal etwas Grundsätzliches zur Wurzelfunktion, wie ist denn deren Ableitung? $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ (Wie du ja schon richtig erkannt hast, ist das hoch 1/2 nur eine andere Notation für die Wurzel ) Zur Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ Und du kannst ja jetzt, wenn du eine Funktion in der Wurzel hast, die gesamte Funktion ja mit der Kettenregel ableiten. Diese Ableitung kannst du ja dann 0-setzen und umformen. Ich nehme mal die Ableitung deiner Funktion A(h): (beachte bitte, dass das r² bei der Ableitung als "Zahl" gesehen wird und deshalb nicht 2r ergibt!) $\begin{eqnarray} A'(h) = \frac{4r²2h-16h³}{2\sqrt{4r²h²-4h^4}} \end{eqnarray}$ Setze jetzt diese Funktion 0 (kurz zur Wiederholung: weil wir ja wissen, um ein Maximum zu berechnen, wird die erste Ableitung 0 gesetzt): $\begin{eqnarray} 0 = \frac{4r²2h-16h³}{2\sqrt{4r²h²-4h^4}} \end{eqnarray}$ Da du ja in dem Zähler der Funktion eine Differenz stehen hast, kannst du den gesamten Bruch "trennen", also: $\begin{eqnarray} 0 = \frac{4r²2h}{2\sqrt{4r²h²-4h^4}} - \frac{16h³}{2\sqrt{4r²h²-4h^4}} \end{eqnarray}$ Addiere nun in der Gleichung den zweiten Bruch, so dass du je einen Bruch auf jeder Seite des Gleichzeichen hast. Da du ja den Hauptnenner in diesem Fall hast, sollte es eigentlich einfach sein, die Funktion nach der gesuchten Variablen h aufzulösen. So, das war jetzt viel Info um dreiviertel 11. Erstmal durchatmen, und dann versuchen zu verstehen Ich drücke die Daumen!
05.03.2012, 22:44	JohnA	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich glaube es wird mir so langsam klar! Ich werde mich nochmal intensiver mit der Kettelregel auseinander setzen.. Ciao
05.03.2012, 22:51	Yushi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann melde dich einfach nochmal, wenn du ne Antwort hast. Hab die Aufgabe selber noch nicht zu Ende gerechnet und bin gespannt was rauskommt

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