Beweisschritt unklar: Erzeugnis isomorph zu direktem Produkt

05.03.2012, 11:42

latingirl

Beweisschritt unklar: Erzeugnis isomorph zu direktem Produkt

Meine Frage:
Hallo liebes Forum!

Es soll folgender Satz bewiesen werden:
Eine von n Elementen erzeugte abelsche Gruppe G ist ein direktes Produkt von höchstens n zyklischen Gruppen.

Dabei ist mir folgender Beweisschritt nicht klar:
Sei a, a_2, ..., a_n ein Erz.system von G und U = <a_2, ..., a_n>.
Falls $\begin{eqnarray*} <g>\cap U={1} \end{eqnarray*}$ , dann gilt G = <a, a_2, ..., a_n> isomorph zu <a> x U etc.

Meine Ideen:
Eben dieser letzte Satz ist mir nicht klar...
Ist das ersichtlich/trivial? Oder gibt's zu dieser Aussage einen Satz?

Es gilt doch: <a, a_2, ..., a_n> = <a>U, oder?
Das ist ja aber das Komplexprodukt und noch nicht das gewünschte direkte Produkt.

Danke für eure Hilfe!

05.03.2012, 14:15

Reksilat

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RE: Beweisschritt unklar: Erzeugnis isomorph zu direktem Produkt

Zitat:

Original von latingirl
Falls $\begin{eqnarray*} <g>\cap U={1} \end{eqnarray*}$ , dann gilt G = <a, a_2, ..., a_n> isomorph zu <a> x U etc.

Sollte hier nicht eher $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stehen?
Damit ergibt sich dann ja auch $\begin{eqnarray*} \langle a\rangle U\cong\langle a\rangle \times U \end{eqnarray*}$

05.03.2012, 14:28

latingirl

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@Reksilat: Ja das war ein Schreibfehler, ich hab ihn bei meiner nächsten Frage behoben (siehe unten).
Also darf ich die Aussage als trivial hinnehmen???

Dann bleibt noch eine andere Frage bzgl. deselben Beweises:

Sei a, a_2, ..., a_n ein Erz.system von G und U = <a_2, ..., a_n>.
Falls $\begin{eqnarray*} <a>\cap U\neq\{1\} \end{eqnarray*}$ , dann gibt es für jedes Erz.system a, a_2, ..., a_n eine natürl. Zahl m mit $\begin{eqnarray*} a^{m}\in U \end{eqnarray*}$ .
Wir wählen ein Erz.syst. so, dass m minimal ist.
Wegen $\begin{eqnarray*} a^{m}\in U \end{eqnarray*}$ ex. m_2, ..., m_n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^{m} a_2^{m_2} ...a_n^{m_n} =1 \end{eqnarray*}$ .
Nach Division durch m mit Rest: m_i = mq_i + r_i wobei r_i < m folgt:
Für h= $\begin{eqnarray*} a a_2^{q_2} ...a_n^{q_n} \end{eqnarray*}$ ist auch h, a_2, ..., a_n Erz.system von G.
Also $\begin{eqnarray*} h^{m}a_2^{r_2} ...a_n^{r_n} = a^{m}a_2^{m_2} ...a_n^{m_n} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Folgenden Schluss verstehe ich nicht:
Wäre r_i > 0, so folgt aus der letzten Gleichung, dass $\begin{eqnarray*} g_i^{r_i} \end{eqnarray*}$ im Erz. von h und g_j für $\begin{eqnarray*} j\neq i \end{eqnarray*}$ läge, ein Widerspruch zu der Minimalität von m > r_i.

Also r_i = 0 usw. ...

05.03.2012, 17:25

latingirl

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KEINE IDEE???

Mein Dozent meine iwas von m bezieht sich nicht nur auf g, d.h. (denke ich) die Minimalitätseigenschaft kann auch bei h "schiefgehen"...
Leider ist mir die Erklärung jetzt nicht mehr klar! verwirrt

05.03.2012, 17:51

Reksilat

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Es ist in der Tat verwirrend, dass das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hier durch das Fehlen des Index quasi hervorgehoben wird, obwohl die Minimalität anders gemeint ist.

Wir wählen m minimal bezüglich der Eigenschaft, dass es ein Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \{a,a_2,...,a_n\} \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} a^m\in\langle a_2,...,a_n\rangle \end{eqnarray*}$ .
Dieses Erzeugendensystem wird dann betrachtet.

Am Ende wird dann ein Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \{h,a_2,..,a_n\} \end{eqnarray*}$ konstruiert und wenn $\begin{eqnarray*} r_i>0 \end{eqnarray*}$ ist, so ist $\begin{eqnarray*} a_i^{r_i} \end{eqnarray*}$ im Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} \{h,a_2,..,a_n\}\setminus\{a_i\} \end{eqnarray*}$ .
Das darf aber nicht sein, da $\begin{eqnarray*} r_i<m \end{eqnarray*}$ .

05.03.2012, 17:57

latingirl

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Reksilat, könntest du den Schluss einen Tick mehr ausführen? Wäre echt nett...

Oder ist das so gemeint:
Damit a_i^r_i im Erzeugnis von {h, a_2, ..., a_n}\{a_i} liegt, muss h "mitwirken".
m war ja aber gerade so gewählt, dass h im Erzeugnis von {a_2, ..., a_n} liegt.

Sorry, kann's leider nicht genauer ausdrücken, oder vielleicht bin ich auch völlig auf dem Holzweg...

05.03.2012, 18:02

Reksilat

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Ich wäre ja gern nett, aber weiß nicht, was ich noch genauer schreiben soll. Ich habe erklärt wie das m minimal gewählt wird und genau gegen diese Wahl würde eben ein solches $\begin{eqnarray*} r_i>0 \end{eqnarray*}$ verstoßen.

05.03.2012, 18:03

latingirl

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Ich habe hier mein Verständnisproblem:
r_i bezieht sich ja als Exponent nicht auf h, sondern auf a_i.
Was verstößt dann gegen die Minimalitätseigenschaft?

06.03.2012, 09:05

Reksilat

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Wie gesagt, das mit der Bezeichnung a ist etwas unglücklich. Vielleicht formuliere ich die Minimalität mal um:

Wir wählen m minimal bezüglich der Eigenschaft, dass es ein Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} \{a_1,a_2,...,a_n\} \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} (a_k)^m\in\langle a_1,a_2,...,a_{k-1},a_{k+1},...,a_n\rangle \end{eqnarray*}$ .

Die Minimalität bezieht sich auf alle Elemente des Erzeugendensystems.

06.03.2012, 09:16

latingirl

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So hab ich es jetzt verstanden. Danke!!!

Die Formulierung meines Skripts ist ja dann wirklich sehr ungeschickt. Ich dachte nämlich, wie gesagt, dass das m nicht in das Erzeugendensystem von U "eingreifen" darf...

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