Produkttopologie/ Proj.abb.

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05.03.2012, 15:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkttopologie/ Proj.abb. Meine Frage: Hallo, im Kontext des Themas "Topologie/ Produkttopologie" ist folgende Aufgabe gestellt: Zeigen Sie, daß die Projektionsabbildunge $\begin{eqnarray} pr_j\colon\prod_{i\in I}X_i\to X_j, j\in I \end{eqnarray}$ stetig und offen sind. Meine Ideen: Ich hätte es mir jetzt sehr bequem gemacht: Subbasis der Produkttopologie ist $\begin{eqnarray} \mathcal{S}=\left\{pr_i^{-1}(O_i)~\|~O_i\in\mathcal{O}_i,i\in I\right\} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \mathcal{S}\subseteq \mathcal{O} \end{eqnarray}$ , wobei ich mit $\begin{eqnarray} \mathcal{O} \end{eqnarray}$ die Topologie auf $\begin{eqnarray} X=\prod_{i\in I}X_i \end{eqnarray}$ meine, folgt die Stetigkeit der Projektionsabbildungen. Was die Offenheit betrifft: Sei $\begin{eqnarray} O'\in\mathcal{O} \end{eqnarray}$ . Dann kann man $\begin{eqnarray} O' \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} O'=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{k\in K}pr_k^{-1}(O_k) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} O_k~\text{offen in}~X_k,~\text{K endliche Teilmenge von I} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} pr_j(O')=\bigcup_{i\in I}pr_j\left(\bigcap_{k\in K}pr_k^{-1}(O_k)\right) \end{eqnarray}$ Wirklich weiter komme ich da gerade nicht.
05.03.2012, 16:16	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche zu zeigen $\begin{eqnarray} pr_j\left( \bigcap_{k\in K}pr_k^{-1}(O_k)\right)=\begin{cases} X_j,&\ j\notin K\wedge\bigcap\neq\emptyset\\ O_j,& \ j\in K\wedge\bigcap\neq\emptyset\\ \emptyset,&\textrm{Schnitt ist leer}\end{cases} \end{eqnarray}$ Zumindest wäre das meine Idee, ich gebe keine Garantie. Habs probiert und sollte hinhauen.
05.03.2012, 16:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das Grundprinzip daran verstehe ich: Das sind alles offene Mengen in $\begin{eqnarray} \mathcal{O}_j \end{eqnarray}$ und deren Vereinigung ist dann auch offen. Ich verstehe allerdings bis jetzt nicht, wieso beispielsweise der erste Fall $\begin{eqnarray} X_j \end{eqnarray}$ ergibt. Ich vermute, es hat mit dem Schnitt über die leere Menge zu tun?
05.03.2012, 16:45	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Im ersten Fall wird die j Komponente der Elemente aus dem Schnitt der Urbilder nicht eingeschränkt. Das heisst wenn du dir ein Element aus dem schnitt nimmst, kannst du dessen j Komponente beliebig ändern und es liegt noch immer im Schnitt.
05.03.2012, 17:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider ist der Groschen noch nicht gefallen. Ich muß Fall 1 wohl doch hinschreiben. $\begin{eqnarray} pr_j\left(\bigcap_{k\in K}pr_k^{-1}(O_k)\right)=pr_j\left(\bigcap_{k\in K}\left\{x\in X=\prod_{i\in I}X_i~\|~pr_k(x)\in O_k\right\}\right) \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} \prod_{i\in I}X_i=\left\{h\colon I\to\bigcup_{i\in I}X_i~\|~h(i)\in X_i~\forall~i\in I\right\} \end{eqnarray}$ . Inwiefern folgt hieraus nun in dem Fall, daß $\begin{eqnarray} j\notin K \end{eqnarray}$ , daß sich $\begin{eqnarray} X_j \end{eqnarray}$ ergibt? Vielleicht hast Du ja so iel Geduld, es mir nochmal zu erklären.
05.03.2012, 17:33	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Also angenomnen der Schnitt ist nicht leer und y aus X_j beliebig, dann gibts es (x_i) im Schnitt, definiere nun (y_i) durch y_i=x_i falls i ungleich j und y_j=y, dann ist (y_i) auch im Schnitt mit pro_j((y_i))=y. Das war jetzt die Inklusion von rechts nach links, von links nach rechts ist ja ohnehin klar.
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05.03.2012, 17:44	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt habe ich's kapiert.
05.03.2012, 17:45	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso: Der Beweis der Stetigkeit war so in Ordnung? Denke ich mal, da Du dazu nichts gesagt hast.
05.03.2012, 17:51	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, die Produkttopologie ist doch gerade die Initialtopologie bzgl der Projektionen, also die gröbste Topologie bzgl derer aller Projektionen stetig sind, also Stetigkeit schon klar und an deinem Beweis hab ich nichts auszusetzen.
05.03.2012, 17:53	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Begriff der Initialtopologie komme ich erst später, vermutlich morgen. Dann verstehe ich das auch.

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