Integrieren

05.03.2012, 16:03

Gast11022013

Integrieren

Meine Frage:
Hi,

eine Integrationsaufgabe bereitet mir gerade Kopfzerbrechen:

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=\frac{4x}{x^2+t} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe schon vieles probiert gehabt, doch nichts hat mir geholfen.
Dann habe ich ein wenig in meinem Schulbuch nachgestöbert und bin auf ein Verfahren gestoßen, was wir mehr oder weniger übersprungen haben, nämlich die Integration mittels Substitution.
Damit kam ich schlussendlich zum Ziel, nur weiß ich nicht ob ich das auch richtig gemacht habe, oder es einfach "Glück" und Zufall war das es das richtige Ergebnis gibt.

$\begin{eqnarray*} z=x^2+t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'=2x \end{eqnarray*}$

Dann habe ich integriert:

$\begin{eqnarray*} F_t(x)=\frac{4x}{2x}*ln(x^2+t) =2ln(x^2+t) \end{eqnarray*}$
Ich habe also die Ableitung des Nenners durch den Zähler geteilt und dann mit dem ln vom Nenner multipliziert.

Wie würde man es den sonst machen?
Ist es so überhaupt richtig??

Beim schreiben fällt mir gerade auf, dass ich auch einfach direkt hätte integrieren können mit der Integrationsregel.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{bx+c}=\frac{a}{b}*ln(bx+c) \end{eqnarray*}$

Da hatte ich wohl ein mieses Brett vorm Kopf falls es so geht.

Danke im Vorraus

Mfg

Edit lgrizu: Du bist doch schon lang genug dabei um zu wissen, dass man Latex Befehle in entsprechende Klammern setzt. Latex korrigiert.

@Igrizu: Ich setze meine Latexklammern immer erst nach dem erstellen des Treads, da bei der Fragestellung die Funktionfehlt einfach das geschriebene zu makieren und dann auf das f(x) Symbol zu klicken.
Das geht schneller als wie wenn ich die Latexklammern manuell schreibe.
Normalerweise tue ich es auch schnell genug das keine Aufregung entsteht. Augenzwinkern

05.03.2012, 16:10

klauss

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RE: Integrieren
Substitution war schon die richtige Idee und auch das Ergebnis stimmt. Ansonsten müßte man es nur noch sauberer hinschreiben mit Integral, dx/dz, + C etc.

05.03.2012, 16:11

Gast11022013

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Ich weiß auch nicht wieso ich nicht einfach direkt die Integrationsregel angewandt habe und mir erst beim schreiben auffällt, dass es so total einfach ist. Hammer

Danke fürs drüber schauen. smile

Das wars schon. Augenzwinkern

05.03.2012, 16:11

Mulder

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RE: Integrieren

Zitat:

Original von Gmasterflash
Dann habe ich ein wenig in meinem Schulbuch nachgestöbert und bin auf ein Verfahren gestoßen, was wir mehr oder weniger übersprungen haben, nämlich die Integration mittels Substitution.
Damit kam ich schlussendlich zum Ziel, nur weiß ich nicht ob ich das auch richtig gemacht habe, oder es einfach "Glück" und Zufall war das es das richtige Ergebnis gibt.

$\begin{eqnarray*} z=x^2+t z'=2x \end{eqnarray*}$

Dann habe ich integriert:

$\begin{eqnarray*} F_t(x)=\frac{4x}{2x}*ln(x^2+t) =2ln(x^2+t) \end{eqnarray*}$
Ich habe also die Ableitung des Nenners durch den Zähler geteilt und dann mit dem ln vom Nenner multipliziert.

Genau so macht man es. Allerdings solltest du - rein formal - die 4x/(2x) erst zu 2 kürzen und DANN integrieren. Denn eine Substitution ist erst dann abgeschlossen, wenn alle x verschwunden sind. DANN darfst du integrieren. Formal schreibt man es im Allgemeinen so auf:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{4x}{x^2+t} \, \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=x^2+t \quad \Rightarrow \quad z' = \frac{\dd z}{\dx}=2x \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2 }{z} \, \dd z \end{eqnarray*}$

Integrieren, Rücksubstitution, fertig.

Es gilt übrigens ganz allgemein: Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht, ergibt sich direkt der ln mit dem gesamtem Nenner als Argument:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, \dd x = \ln(|f(x)|+C \end{eqnarray*}$

Beträge nicht vergessen, damit die Stammfunktion auch auf dem gesamten Definitionsbereich hinhaut. Bei deinem Fall musst du das eigentlich auch tun, es sei denn, es gilt nach Voraussetzung t>0. Das x macht dir hier aber keine Probleme, denn es taucht im ln ja nur im Quadrat auf.

Das hier:

Zitat:

Original von Gmasterflash
Beim schreiben fällt mir gerade auf, dass ich auch einfach direkt hätte integrieren können mit der Integrationsregel.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{bx+c}=\frac{a}{b}*ln(bx+c) \end{eqnarray*}$

ist ja nur ein Spezialfall dessen, was ich dir oben allgemein hingeschrieben habe. Allgemein nennt man das gerne "Logarithmische Integration". Dahinter steckt aber letztlich die Substitutionsregel. Hier hätte man es auch gleich so sehen können:

$\begin{eqnarray*} 2 \int \frac{2x}{x^2+t} \, \dd x \end{eqnarray*}$

Dann hat man es sofort da stehen...

05.03.2012, 16:17

Gast11022013

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Auch ein danke an dich für deine Mühe.

Deine letzte Bemerkung finde ich hoch interessant.
Ich hatte mir schon gedacht, dass man diese Integrationsregel irgendwie verwenden kann, aber da im Zähler nicht die Ableitung des Nenners stand, habe ich diese Idee schnell verworfen.

Das man eine 2 ausklammern kann, hatte ich garnicht in betracht gezogen.
In Zukunft werde ich da verstärkt drauf achten, damit es mir beim nächstem mal auch auffällt.

Freude

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