limes superior: Verständnisfrage zum Beweis

05.03.2012, 16:27

tyger

limes superior: Verständnisfrage zum Beweis

Hallo,
mit dem Beweis zur folgenden Behauptung komme ich absolut nicht klar.

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} (a_{n}),(b_{n}) \end{eqnarray*}$ beschränkte reelle Folgen,
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup (a_{n}+b_{n}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \lim_{n \to \infty } sup(a_{n} ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} + \lim_{n \to \infty } sup(b_{n}) \end{eqnarray*}$ .

Beweis:

Es seien
a= $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup ( a_{n}) \end{eqnarray*}$ ,
b= $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup ( b_{n}) \end{eqnarray*}$ ;
epsilon >0 vorgegeben.
Aus $\begin{eqnarray*} a_{n} + b_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ a+b+epsilon folgt
$\begin{eqnarray*} a_{n} \geq a+ \end{eqnarray*}$ epsilon/2
oder
$\begin{eqnarray*} b_{n}\geq b + \end{eqnarray*}$ epsilon/2.
Das ist nur für endlich viele Indizes möglich.
Also gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} sup (a_{n} + b_{n})\leq a+ b \end{eqnarray*}$ .
Ich würde diesen Beweis wirklich gerne verstehen - wer kann mir dabei helfen ?

LG

tyger

05.03.2012, 19:55

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: limes superior: Verständnisfrage zum Beweis

Zitat:

Original von tyger
Ich würde diesen Beweis wirklich gerne verstehen - wer kann ihn mir dabei helfen ?

Du kannst helfen, indem du eine konkrete Frage stellst.
Wo liegt dein Problem in dem Beweis?

05.03.2012, 20:00

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: limes superior: Verständnisfrage zum Beweis
$\begin{eqnarray*} a_n \colon ~=~\sup\limits_{k \leq n} \{~a_k~\} \end{eqnarray*}$ ist im endl. Fall (*) eine Zahl $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k \leq a_n \quad \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ und zwar die kleinste.

Für eine eine zweite Folge $\begin{eqnarray*} (b_k)_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ wäre dann $\begin{eqnarray*} a_k~ \leq ~a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k~ \leq ~b_n \quad\forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} a_k~+~b_k \leq a_n~+~b_n \quad\forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ , also auch
$\begin{eqnarray*} \sup \limits_{0 \leq k \leq n} \{a_k~+~b_k\} \leq a_n~+~b_n~=~ \sup \limits_{0 \leq k \leq n} \{a_n~+~b_n\} \end{eqnarray*}$

Jetzt wendest Du noch einen bekannt $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ -Satz an für Folgen $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

Der Schlüssel war also, eine Folge von Schranken einmal sauber aufzuschreiben ...
____________________

(*) ... bei $\begin{eqnarray*} \infty = \sup\limits_{n \in \mathbb N} \{~a_n~\} \end{eqnarray*}$ gibt es nix weiter zu zeigen, da die rechte Seite schon $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist.

05.03.2012, 20:17

thk

Auf diesen Beitrag antworten »

@ tyger

Was deinen Beweis betrifft:

Die Aussage ist ja: Wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq a \end{eqnarray*}$ + epsilon/2 ODER $\begin{eqnarray*} b_{n} \geq b \end{eqnarray*}$ + epsilon/2,
dann ist n <= n0
Also für nur endlich viele n können Glieder der jeweiligen Folge größer sein als das Lim Supremum
(Wähle n0 so groß wie nötig für beide Folgen)

Die logische Umkehrung ist,

Wenn WEDER $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq a \end{eqnarray*}$ + epsilon/2 NOCH $\begin{eqnarray*} b_{n} \geq b \end{eqnarray*}$ + epsilon/2,

dann ist n>n0

Für hinreichend weit draußen gelegene glieder der Folgen ist eine solche Unglg. nicht mehr möglich, was die Grenzwertaussage gleichkommt.
Edit: Wähle etwa delta=epsilon/2

06.03.2012, 07:15

tyger

Auf diesen Beitrag antworten »

@ pseudo-nym , SusiQuad , thk : Vielen Dank für eure Antworten ! smile

@ SusiQuad : Wahrscheinlich meinst du $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_{n} + b_{n}) = \lim_{n \to \infty } a_{n} + \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$ - oder ?

@ thk : Um diese Uhrzeit irritiert mich das das delta - wo und wann brauche ich das ?

06.03.2012, 07:21

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

@ SusiQuad : Wahrscheinlich ...

06.03.2012, 07:52

tyger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja,ich erkenne mich selbst nicht wieder...
Diese intellektuellen Höchstleistungen am frühen Morgen - wo soll das enden?

06.03.2012, 19:51

thk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tyger
@ thk : Um diese Uhrzeit irritiert mich das das delta - wo und wann brauche ich das ?

Ach davon muss man sich nicht aus der morgentlichen Unruhe bringen lassen. Es liegen dann halt alle Gleider für n>n0 in der Delta- und nicht in einer ominösen Epsilon/2-Umgebung. Das erhöht die Toleranz bei Definitionen, mehr auch nicht smile

Neue Frage »

Antworten »

limes superior: Verständnisfrage zum Beweis

Verwandte Themen