Ideal in R[t]

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05.03.2012, 20:44	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ideal in R[t] Guten Abend, ich wollte auch bei dieser Aufgabe die Idealeigenschaften nachprüfen und bin mir sehr unsicher. Aufgabe: Untersuche, ob $\begin{eqnarray} I \subseteq \mathbb R[t] \end{eqnarray}$ ein Ideal ist. Falls ja, schreibe I als Hauptideal a) I={ f \| f(0) = f'(0) = 0} b) I = { f \| f(0) = f'(1) = 0} a) I1) $\begin{eqnarray} 0 \in I \end{eqnarray}$ ist klar. I2) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f,g \in I : f+g \in I \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} f,g \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(0)=0, g(0)=g'(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = f'(0) + g'(0) = (f+g)'(0) \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f+g \in I \end{eqnarray}$ I3) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f \in I, g \in R: g \cdot f \ in I \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} f \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \in \mathbb R [t] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f \cdot g)(0) = f(0) \cdot g(0) = 0 \cdot g(0) = 0 = 0 \cdot g'(0) = f'(0) \cdot g'(0) = (f \cdot g)'(0) \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f \cdot g \in I \end{eqnarray}$ Das Hauptideal ist $\begin{eqnarray} I = (n \cdot t^{k} ), n \in \mathbb R, 2 \leq k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ b) I1) $\begin{eqnarray} 0 \in I \end{eqnarray}$ klar I2) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f,g \in I : f+g \in I \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} f,g \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(1)=0, g(0)=g'(1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = f'(1) + g'(1) = (f+g)'(1) \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f+g \in I \end{eqnarray}$ I3) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f \in I, g \in R: g \cdot f \ in I \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} f \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(1)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \in \mathbb R [t] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f \cdot g)(0) = f(0) \cdot g(0) = 0 \cdot g(0) = 0 = 0 \cdot g'(1) = f'(1) \cdot g'(1) = (f \cdot g)'(1) \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f \cdot g \in I \end{eqnarray}$ Hauptideal ist $\begin{eqnarray} I=(\frac{1}{n} \cdot t^{n} - t), 2 \leq n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Stimmt das? Gruß und danke Juppie
05.03.2012, 20:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Großer Fehler: $\begin{eqnarray} (f \cdot g)' \neq f' g' \end{eqnarray}$ Das ist auch der Grund warum bei dir fälschlicherweise beides Ideale sind.
05.03.2012, 21:00	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideal in R[t] Oh stimmt, danke, das ist ja die Produktregel! Wie doof -.- Auf ein Neues: Aufgabe: Untersuche, ob $\begin{eqnarray} I \subseteq \mathbb R[t] \end{eqnarray}$ ein Ideal ist. Falls ja, schreibe I als Hauptideal a) I={ f \| f(0) = f'(0) = 0} b) I = { f \| f(0) = f'(1) = 0} a) I1) $\begin{eqnarray} 0 \in I \end{eqnarray}$ ist klar. I2) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f,g \in I : f+g \in I \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} f,g \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(0)=0, g(0)=g'(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = f'(0) + g'(0) = (f+g)'(0) \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f+g \in I \end{eqnarray}$ I3) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f \in I, g \in R: g \cdot f \ in I \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} f \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \in \mathbb R [t] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f \cdot g)(0) = f(0) \cdot g(0) = 0 \cdot g(0) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f \cdot g)'(0) = f'(0) \cdot g(0) + f(0) \cdot g'(0) = 0 \cdot g(0) + 0 \cdot g'(0) = 0 \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} (f \cdot g)(0) = (f \cdot g)'(0) = 0 \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f \cdot g \in I \end{eqnarray}$ Das Hauptideal ist $\begin{eqnarray} I = (n \cdot t^{k} ), n \in \mathbb R, 2 \leq k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ b) I1) $\begin{eqnarray} 0 \in I \end{eqnarray}$ klar I2) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f,g \in I : f+g \in I \end{eqnarray}$ Seien $\begin{eqnarray} f,g \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(1)=0, g(0)=g'(1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f+g)(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0 = 0 + 0 = f'(1) + g'(1) = (f+g)'(1) \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f+g \in I \end{eqnarray}$ I3) z.Z.: $\begin{eqnarray} \forall f \in I, g \in R: g \cdot f \ in I \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} f \in I \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(1)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \in \mathbb R [t] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f \cdot g)(0) = f(0) \cdot g(0) = 0 \cdot g(0) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f \cdot g)'(1) = f'(1) \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) = 0 \cdot g(1) + f(1) \cdot g'(1) = f(1) \cdot g'(1) \neq 0 \end{eqnarray}$ Deshalb ist $\begin{eqnarray} f \cdot g \notin I \end{eqnarray}$
05.03.2012, 21:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du behauptest $\begin{eqnarray} f(1) \cdot g'(1) \neq 0 \end{eqnarray}$ , allerdings könnte es dennoch 0 sein, weil R[t] eine unbekannte Eigenschaft besitzt, die diesen Term immer annuliert. Was du brauchst ist ein Gegenbeispiel. Also ein f in I und g ein allgemeines Polynom, so dass dieser Term oben ungleich 0 ist.
05.03.2012, 22:07	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ein Gegenbeispiel: Sei $\begin{eqnarray} f(t)= \frac{1}{2}t² - t, f'(t)=t-1 \Rightarrow f(0)=0, f'(1)=0 \Rightarrow f \in I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(t)=t², g'(t)=2t, g \in \mathbb R[t] \Rightarrow g(0)=0, g'(1)=2 \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} (f \cdot g)'(1) = f'(1)g(1)+f(1)g'(1) = 0 \cdot g(1) + f(1)g'(1) = f(1)g'(1)= ( - \frac{1}{2} \cdot 2)= ( -1) \neq 0 \end{eqnarray}$ Stimmt die Aufgabe dann? Auch das Hauptideal?
05.03.2012, 22:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, das passt nun. Und der Erzeuger hat einen kleinen Fehler: Für n = 0 hast du das triviale Ideal. Den Faktor benötigst du aber auch nicht, da die reellen Zahlen einen Körper bilden und Teilmenge der Polynome sind (die konstanten Polynome). Und das k kleiner gleich 2 ist, ist auch falsch, wenn für k = 1 hast du eine Polynom, dessen Ableitung konstant 1 bzw. n ist.
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06.03.2012, 12:33	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist der Erzeuger einfach I=(t^k) mit k in Z?
06.03.2012, 15:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem ist, das Hauptideal darf nur einen Erzeuger haben, d.h. du musst dich für ein k entscheiden, und es sollte schon einmal größer als 1 sein.
06.03.2012, 17:16	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
k=2?
06.03.2012, 17:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, wenns kleiner wär würde es mehr erzeugen, wenns größer wär, würds z.B. t^2 nicht mehr enthalten.
06.03.2012, 19:28	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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