Differenzenquotienten Umformen

06.03.2012, 01:01

Alfred Gäbeli

Differenzenquotienten Umformen

Meine Frage:
Es darum die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion zu ermitteln. Diese geht von dem Differenzenquotienten an einer beliebigen Stelle Xo aus.

In meinem Buch sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} d(h)=\frac{ln(x_{0} +h)-lnx_0}{h}= \frac{1}{h} * ln\frac{x_0 +h}{x_0} = \frac{1}{h} * ln(1+\frac{h}{x_0} )=\frac{1}{x_0} *\frac{x_0}{h} * ln(1+\frac{h}{x_0} )=\frac{1}{x_0} ln(1+ \frac{1}{\frac{x_0}{h} })^\frac{x_0}{h} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{h} * ln\frac{x_0 +h}{x_0}<br /> \end{eqnarray*}$
Logarithmengesetze und 1über h ausklammern. alles klar.
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{h} * ln(1+\frac{h}{x_0}) \end{eqnarray*}$
Bruch innerhalb des ln auseinander nehmen, Xo kürzen. Hab ich zwar noch nie gesehen, sieht aber elegant aus.
Versteh ich.
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{x_0} *\frac{x_0}{h} * ln(1+\frac{h}{x_0} ) \end{eqnarray*}$
1 über h erweitern Mit Xo. Auseinander schreiben. ok.
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{x_0} ln(1+ \frac{1}{\frac{x_0}{h} })^\frac{x_0}{h} \end{eqnarray*}$
Xo über h kann auch als Exponent geschrieben werden. Logarithmengesetze.
aber wie, zum Donner, kommt es da wieder in den Nenner in die Klammer rein??
Versteh ich nicht!

dankbar für jegliche Hilfe
Herzlich
AlfG

06.03.2012, 01:10

Mulder

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RE: Differenzenquotienten Umformen

Zitat:

Original von Alfred Gäbeli
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{x_0} ln(1+ \color{red} \frac{1}{\frac{x_0}{h}} \color{black} )^\frac{x_0}{h} \end{eqnarray*}$
Xo über h kann auch als Exponent geschrieben werden. Logarithmengesetze.
aber wie, zum Donner, kommt es da wieder in den Nenner in die Klammer rein??

Das, was ich jetzt rot markiert habe, macht dir zu schaffen, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe? Das ist einfach das Erzeugen eines Doppelbruches.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{a}{b}} \end{eqnarray*}$ kann man doch auch schreiben als $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ .

Denn:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{a}{b}} = \left ( \frac{a}{b} \right )^{-1} = \frac{a^{-1}}{b^{-1}} = \frac b a \end{eqnarray*}$

Oder meintest du was anderes?

06.03.2012, 01:37

Alfred Gäbeli

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Zitat:

Das, was ich jetzt rot markiert habe, macht dir zu schaffen, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe? Das ist einfach das Erzeugen eines Doppelbruches.

Genau.
OMG Forum Kloppe

Wie konnte ich das NICHT sehen! Hammer

ich hab sicher 20min. auf die Umformung gestarrt.

demnach wurde das so umgeschrieben, weil man im nächsten Schritt
$\begin{eqnarray*} n=\frac{x_0}{h} \end{eqnarray*}$

und dann bequem den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

das nenn ich mal mathematisch kreativ smile

Herzlichen Dank für Deine Mühe!

AlfG

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