Quadratische Variation / Satz von Girsanov

06.03.2012, 03:03	Hans11	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Variation / Satz von Girsanov Meine Frage: Ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Satz von Girsanov, bzw. im speziellen auch mit der quadratischen Variation. Satz von Girsanov: Es wird ein äquivalentes Maß konstruiert, wobei B_t=W_t-[W,KW]_t=W_t- \int_{0}^t K_s\,ds eine Brownsche Bewegung unter eben diesem Maß ist. (Und W_t Bronwsche Bewegung unter dem Ausgangsmaß) Wie kommt man auf das Integral? Quadratische Variation allgemein: Wir haben zwei unabhängige Brownsche Bewegungen W^1 und W^2. Nun will ich zeigen, dass (W^1+iW^2)^2 ein Martingal ist. Meine Ideen: Mir ist bewusst, dass [X]_t=X_t^2-X_0^2-2(XX)_t= \int_{0}^t K_s^2\,ds , nur wie wende ich das im obigen Beispiel an? Beim zweiten wende ich zunächst den Satz der quadratichen Variation an, also wenn [X] existiert, dann auch X^2-[X], welches ein Martingal ist. Also (W^1+iW^2)^2 - [W^1+i*W^2] ist ein Martingal und falls der zweite Term 0 ist folgt die Behauptung. Wie wende ich darauf nun obige Definition an? Besten Dank.
06.03.2012, 03:24	Hans11	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Variation / Satz von Girsanov Ich kann obigen Text leider nicht bearbeiten, daher hier: Meine Frage: Ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Satz von Girsanov, bzw. im speziellen auch mit der quadratischen Variation. Satz von Girsanov: Es wird ein äquivalentes Maß konstruiert, wobei $\begin{eqnarray} B_t=W_t-[W,KW]_t=W_t- \int_{0}^t K_s\,ds \end{eqnarray}$ eine Brownsche Bewegung unter eben diesem Maß ist. (Und $\begin{eqnarray} W_t \end{eqnarray}$ Bronwsche Bewegung unter dem Ausgangsmaß) Wie kommt man auf das Integral? Quadratische Variation allgemein: Wir haben zwei unabhängige Brownsche Bewegungen $\begin{eqnarray} W_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W_2 \end{eqnarray}$ . Nun will ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} (W_1+iW_2)^2 \end{eqnarray}$ ein Martingal ist. Meine Ideen: Mir ist bewusst, dass $\begin{eqnarray} [X]_t=X_t^2-X_0^2-2(XX)_t= \int_{0}^t K_s^2\,ds \end{eqnarray}$ , nur wie wende ich das im obigen Beispiel an? Beim zweiten wende ich zunächst den Satz der quadratichen Variation an, also wenn $\begin{eqnarray} [X] \end{eqnarray}$ existiert, dann auch $\begin{eqnarray} X^2-[X] \end{eqnarray}$ , welches ein Martingal ist. Also $\begin{eqnarray} (W_1+iW_2)^2 - [W_1+iW_2] \end{eqnarray*}$ ist ein Martingal und falls der zweite Term 0 ist folgt die Behauptung. Wie wende ich darauf nun obige Definition an? Besten Dank.

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