verschiedene erwartungswerte für dieselbe (gleich-)verteilung

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the_toast Auf diesen Beitrag antworten »
verschiedene erwartungswerte für dieselbe (gleich-)verteilung
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes Problem:

ich habe 20 gleichverteilte bitstrings von großer länge (128bits, aber davon möchte ich erstmal abstrahieren). jetzt möchte ich wissen, wie viele bits im Erwartungswert null sind bis zur ersten eins, und zwar bei dem bitstring mit der größten anzahl führender nullen, und bei dem bitstring mit der zweit- und drittgrößten anzahl führender nullen.

Meine Ideen:
Meine lösung ist ziemlich intuitiv, aber sie bringt mich nur auf das maximum (und sie funktioniert nicht für statt 20 nur einen einzigen bitstring). sie basiert auf der überlegung, dass die hälfte von 20 eine führende eins haben, die andere hälfte eine 0, dh. 10 haben eine führende null. die hälfte von diesen 10 hat zwei führende nullen usw., so dass ich als formel habe. diese formel funktioniert aber nicht für einen einzigen bitstring (der Erwartungswert ist 0,5 führende nullen, aber ), das größere problem ist aber dass ich die erwartungswerte für die bitstrings mit der zweit- und drittgrößten anzahl brauche...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verschiedene erwartungswerte für dieselbe (gleich-)verteilung
Zitat:
Original von the_toast
so dass ich als formel habe. diese formel funktioniert aber nicht für einen einzigen bitstring (der Erwartungswert ist 0,5 führende nullen, aber )

Der Erwartungswert für die Zahl führender Nullen bei einem String ist nicht 0.5 sondern 1.

Sei die Zahl führender Nullen bei einem String. Dann hat man



Daraus ergibt sich



Sei die Zahl führender Nullen des Strings mit der maximalen Zahl führender Nullen bei m Strings. ist sicher als Funktion von m streng monoton wachsend. Es ist also



Bei deiner Formel würde sich aber ergeben . Deine Formel stimmt also generell nicht.


Es ist



Dann ist



Die Wahrscheinlichkeit, dass der längste String genau n führende Nullen hat, lässt sich damit ausdrücken als:



Und der Erwartungswert ist dann



Es mag sein, dass man diese Summe noch formelmäßig auswerten kann. Aber bei den Erwartungswerten für die zweit- und drittgrößte Zahl führender Nullen dürfte es echt haarig werden.
the_toast Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für deine ausführliche und angenehm verständliche antwort! ich hab mich hier auch nochmal umgehört und mir wurde der begriff "ordnungsstatistik" genannt, um die bitstrings, die als urnenmodell interpretiert werden ("nach wieviel mal ziehen kommt die erste eins"), in sortierter weise herauszubekommen um damit dann auch das zweitbeste und drittbeste ergebnis herauszubekommen... wenn dir da was einfällt, wäre ich dir natürlich dankbar wenn du deine ideen mit mir teilen könntest smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ordnungsstatistik ist das richtige Stichwort. Die sind aber bei diskreten Zufallsgrößen recht unhandlich. Du kannst dir ja mal das

http://en.wikipedia.org/wiki/Order_statistic

für den diskreten Fall durchlesen. Im Prinzip kann man damit Formeln für die Erwartungswerte der 2. und 3. längsten Anfangsnullfolge hinschreiben. Wenn man nur an den Zahlenwerten interessiert ist, könnte man stattdessen auch einfach eine Simulation machen.
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