Exakte DGL mit integrierendem Faktor

06.03.2012, 11:27

sigmadelta

Exakte DGL mit integrierendem Faktor

Moin,

ich versuche den integrierenden Faktor der DGL zu bestimmen.

y'=(2y²+9x²)/2xy

2xyy'-2y²-9x²=0 -> 2xy dy - (2y²+9x²)dx =0

2xy dy = M
2y²+9x²=N

dM/dx = 2y
dN/dy = 4y

Der integrierende Faktor hängt offenbar von y ab. Nun weiß ich ncht so richtig wie es nun weiter geht.
Habe so etwas noch nicht gemacht. Wenn ich es richtig verstanden habe führe ich nun einen Faktor (y) ein.

d/dx = 2xy * Faktor = 2y*Faktor+2xy* Faktor'
d/dy = (2y²+9x²)*Faktor = 4y *Faktor + (2y²+9x²) * Faktor'

Ist dieser Ansatz richtig, wenn der Faktor von y abhängig ist ??

Gleichsetzen und umformen

Bekomme dann einen Bruch heraus und weiß nicht wie ich diesen integrieren soll.

ln Faktor = Integral ( 2y/(2xy-2y²-9x²))dy

habe keine Ahnung ob grundsätzlich der Ansatz stimmt, Anregungen ??

06.03.2012, 22:12

Mulder

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RE: Exakte DGL mit integrierendem Faktor
Dann also nochmal ich...

Also ich durchblicke jetzt nicht im vollen Umfang, was du da machst. Ich hab keine Ahnung, was bei dir "gleichsetzen und umformen" bedeutet. Für den integrierenden Faktor versucht man ja im Allgemeinen, einen guten Ansatz zu finden. Ich gehe bei der DGL jetzt mal von

$\begin{eqnarray*} p+qy'=0 \end{eqnarray*}$

aus, p ist also -(2y²+9x²) und q ist 2xy.

Zitat:

Der integrierende Faktor hängt offenbar von y ab.

Nö. Der integrierende Faktor hängt bei deinem Beispiel sogar nur von x ab. Das hat mit den beiden partiellen Ableitungen erstmal nichts zu tun. Oder wir reden jetzt irgendwie aneinander vorbei. Ich nenne den integrierenden Faktor jetzt mal $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Die Integrabilitätsbedingung multipliziere ich damit durch (mit dem Faktor wird die DGL ja exakt):

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial (\mu p)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu q)}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Nun bedarf es eigentlich eines guten Ansatzes. Da ich es schon durchgerechnet habe, gebe ich dir den mal. Der integrierende Faktor wird nur von x abhängen. Also setzen wir einfach mal $\begin{eqnarray*} \mu := \mu(x) \end{eqnarray*}$ . Damit wird nach Produktregel

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial (\mu p)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu q)}{\partial x} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \mu \frac{\partial p}{\partial y} = \mu \frac{\partial q}{\partial x} + q \frac{\partial \mu }{\partial x} \end{eqnarray*}$

Umsortiert:

$\begin{eqnarray*} \mu \cdot \left ( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right ) = q \frac{\partial \mu }{\partial x} \end{eqnarray*}$

Oder, da $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ja nur von x abhängt:

$\begin{eqnarray*} \mu \cdot \left ( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right ) = q \cdot \mu' \end{eqnarray*}$

Das liefert, wenn man durch q teilt:

$\begin{eqnarray*} \mu \cdot \frac{1}{q} \left ( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right ) = \mu' \end{eqnarray*}$

Jetzt wird's interessant: Wenn nun $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q} \left ( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right ) \end{eqnarray*}$ nur von x abhängt, hast du eine homogene DGL, die du lösen kannst. Rechne es mal durch. Die Lösung dieser DGL ist dann dein integrierender Faktor.

Man sollte sich immer zuallererst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{q} \left ( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right ) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \left ( \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \right ) \end{eqnarray*}$ anschauen. Wenn da ein Ausdruck vorkommt, in dem nur eine Variable auftaucht, dann hängt der integrierende Faktor auch nur von dieser Variablen ab und man kann dann diesen Ansatz verfolgen.

Den vereinfachten Ausdruck für beispielsweise $\begin{eqnarray*} \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial q}{\partial x} \end{eqnarray*}$ kann man dann oben auch gleich zu Beginn einsetzen...

07.03.2012, 10:06

sigmadelta

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RE: Exakte DGL mit integrierendem Faktor
Wow, vielen Dank

also bei 1/q(dp/dy-dq/dx)=-3/x -> integrierender Faktor = 1/x³

Neue DGL 2yy'/x²-(2y²/x³+9/x)=0 Exakte DGL !

Fx(x,y) = - 2y²/x³-9/x
Fy(x,y) = 2y/x²

F(x,y) = Integral (-2y²/x³-9/x dx+ phi(y) = 6y²/x²-9lnx+phi(y)
Fy(x,y) = 12y/x²+ dphi/dy= 2y/x²

dphi/dy= -10y -> phi = -5y²+c

F(x,y) =6y²/x²-9lnx-5y²+c

y = sqrt(9lnx+c1)*x wobei -c durch c1 ersetzt wurde c1 Element R

Vielen Dank, dank deiner und der Hilfe von Harry Heuser (Buch: Gewöhnliche DGL) habe ich es nun endlich auch geschafft.

Vielen Dank für die Mühe, hat Spaß gemacht :-) Thanks a lot

07.03.2012, 10:49

sigmadelta

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RE: Exakte DGL mit integrierendem Faktor
dphi/dy= -10y/x² -> phi = -5y²/x²+c

F(x,y) =6y²/x²-9lnx-5y²/x²+c

Jetzt sollte es stimmen, sorry :-)

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