Satz vom abgeschlossen Graphen

06.03.2012, 12:31	Agsason	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz vom abgeschlossen Graphen Hallo, ich komme mit der folgenende Frage leider nicht zurecht: Seien X und Y normierte Räume, $\begin{eqnarray} L : X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung, so dass $\begin{eqnarray} (x_n \rightarrow 0 \wedge Lx_n \rightarrow y) \Rightarrow y = 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist L stetig. Ich gehe ja mal stark davon aus, dass ich den Satz vom abgeschlossenen Graphen benutzen muss. Ich muss also zeigen, dass L abgeschlossen ist, also $\begin{eqnarray} (x_n \rightarrow x \wedge Lx_n \rightarrow y) \Rightarrow Lx = y \end{eqnarray}$ . Daraus würde dann mit aus dem Satz folgen, dass L stetig ist. Um dies zu zeigen sei also $\begin{eqnarray} (x_n)_n \end{eqnarray}$ eine Folge in X mit $\begin{eqnarray} x_n \rightarrow x \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Lx_n \rightarrow y \end{eqnarray}$ . Aber dann weiß ich einfach nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Grüße und vielen Dank schon mal
06.03.2012, 14:45	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|\|L(x_n)-L(x)\|\|=\|\|L(x_n-x)\|\| \end{eqnarray}$
06.03.2012, 16:47	Agsason	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erstmal danke, aber irgendwie komme ich damit nicht richtig weiter. Ich verstehe einfach nicht, wie ich diese Linearitätseigenschaft einfließen lassen soll. Viele Grüße
06.03.2012, 18:39	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L(x_n-x)=L(x_n)-L(x)\to y-L(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_n-x\to 0 \end{eqnarray}$ Jetzt die Voraussetzung über L anwenden.

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