absolute konvergenz und konvergenz

06.03.2012, 15:19

lösungsfinder

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absolute konvergenz und konvergenz

Hi

Ich habe folgende Reihen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Mein vorgehen in diesem Fall:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty |(-1)^{n}\frac{n}{n+1}| = \sum\limits_{n=1}^\infty |\frac{n}{n+1}| \end{eqnarray*}$

und wenn wir jetzt überall erweitern mit n erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} = 1 \end{eqnarray*}$ also Konvergiert die Folge.

Daraus schließe ich, das die Reihe in diesem Fall nicht absolut konvergiert! und so spontan würde ich sagen sie konvergiert aber ich weiß nicht wie ich das genau zeigen soll! Da ich ja vorne immer das wechselnde Vorzeichen habe

Die zweite Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)^{n} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das Wurzelkriterium angewendet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)^{n}|} = \lim_{n \to \infty} |(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i)| = \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}} < 1 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe absolut konvergent.

Dritte Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3 * 5^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das Quotientenkriterium angewendet:

$\begin{eqnarray*} |\frac{3*5^{n+1}}{(n+1)!} * \frac{n!}{3 * 5^{n}}| = |\frac{3*5^{n}*5}{(n+1)!} * \frac{n!}{3 * 5^{n}}| = |\frac{5n!}{(n+1)!}| = |\frac{5n!}{n!*(n+1)}| = |\frac{5}{n+1}| \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} = 0 < 1 \end{eqnarray*}$ also müsste das auch absolut konvergent sein.

Jetzt zu meinen Fragen:

1) Stimmt das was ich da oben gemacht habe?
2) Ich bin mir nicht sicher aber ist nicht jede absolut konvergente Reihe auch konvergent?
3) Ich habe ja oben nur behauptet, dass die erste Reihe konvergiert aber wie kann ich das bei einem alternierenden Vorzeichen Zeigen?

06.03.2012, 15:36

speedyschmidt

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zur 1.:

alles richtig, zur konvergenz: wie soll das konvergieren, wenn wir keine Nullfolge haben?

2. und 3. sind richtig

06.03.2012, 15:48

lösungsfinder

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Ok, also ist die 1 Reihe divergent!!!

Da ich ja immer einen Teil der ~1 ist auf die Summe addiere.

Danke smile

smile

06.03.2012, 18:14

lösungsfinder

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Könnte mir vielleicht noch einer Erklärung, was genau der Reihenwert ist? Da ich das irgendwie nicht verstehe. unglücklich

unglücklich

06.03.2012, 18:27

Mulder

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Eine Reihe ist doch auch eine Folge. Eine Folge von Partialsummen.

$\begin{eqnarray*} b_n = \sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$

So ist $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ die n-te Partialsumme, also die Summe der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Glieder der Folge $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$

Der Wert der (unendlichen) Reihe entspricht dabei, sofern er existiert, dem Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ .

Sollst du den hier berechnen?

06.03.2012, 19:07

lösungsfinder

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Ich bin mir jetzt nicht sicher aber meinst du das so?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{3*5^{k}}{k!} = \frac{3*5^{0}}{0!} + ... + \frac{3*5^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$

Aber was muss ich jetzt damit machen?

Muss ich jetzt von diesem teil $\begin{eqnarray*} \frac{3*5^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert bestimmen?

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06.03.2012, 19:10

Mulder

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Zitat:

Original von lösungsfinder
Ich bin mir jetzt nicht sicher aber meinst du das so?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{3*5^{k}}{k!} = \frac{3*5^{0}}{0!} + ... + \frac{3*5^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$

Ja, das ist die n-te Partialsumme. Man könnte das, wenn man für n eine konkrete Zahl einsetzt, ausrechnen. Aber wir interessieren uns ja für den Wert, der sich ergibt, wenn n gegen unendlich läuft.

Wenn es darum geht, solche Reihenwerte zu berechnen, dann hast du normalerweise auch eine Reihe vorliegen, die schon aus der Vorlesung bekannt ist, vielleicht leicht abgewandelt. Und dann gibt's Lösungsformeln (zum Beispiel für die geometrische Reihe).

Die Reihe, die wir hier jetzt haben, ist sehr bekannt und du sollstest sie auch wieder erkennen. Schau mal auf die Reihendarstellung der e-Funktion.

06.03.2012, 20:02

lösungsfinder

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Mhh, dass bringt mich jetzt aber irgendwie nicht weiter...

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = e \end{eqnarray*}$

ich sehe zwar die Ähnlichkeit, aber ich weis nicht wie mir das weiterhelfen soll.

06.03.2012, 20:04

Mulder

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Das ist der Fall für x=1. Die e-Funktion ist aber für alle reellen x [Zwischenedit: Natürlich auch im Komplexen, aber juckt uns hier nicht] definiert. Ihr werdet also irgendwo noch eine allgemeinere Fassung haben. Aber um dir die Suche mal abzunehmen:

$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

06.03.2012, 20:23

lösungsfinder

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Mhh also würde das jetzt bedeuten das die Reihe den Reihenwert 3 * exp(x) hat???

06.03.2012, 20:28

Mulder

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Wieso denn x? In deiner Reihe steht kein x.

Und in deinem ersten Post hast du geschrieben, deine Reihe würde bei 1 loslaufen. Weiter unten schreibst du es dann so, als würde sie bei 0 loslaufen. Ich weiß nicht, was nun stimmt, aber für den Wert der Reihe ist das natürlich zu beachten.

06.03.2012, 20:30

lösungsfinder

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Oh, ich meine 3 * exp(n)

Es soll eigentlich bei 0 loslaufen!!!

06.03.2012, 20:32

Mulder

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Nein. Wieso denn jetzt n?

06.03.2012, 20:33

lösungsfinder

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Oh man,

böse

was schreibe ich hier für einen misst:

3 * exp(k)

06.03.2012, 20:35

Mulder

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Meine Güte... unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

In deiner Reihe steht nicht x^n, sondern 5^n. Also ist der Wert deiner Reihe exp(5). Das ist doch nun wirklich nur eine Zahl einsetzen!

Zusätzlich noch den Faktor 3 beachten, der vor der Reihe steht. Also 3*exp(5).

06.03.2012, 20:37

lösungsfinder

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Big Laugh

Oh mein Gott... Hammer

Hammer

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