Übergangsmatrizen: Autovermietung

06.03.2012, 15:39

Schweinski

Übergangsmatrizen: Autovermietung

Hallöle!

Hier meine Aufgabe:

Eine Autovermietungsfirma hat vier Standorte Berlin, Köln, Hamburg und Dortmund und verfügt insgesamt über 588 Mietfahrzeuge.
Kunden können Autos in einer der vier Städte mieten und in einer anderen der Städte wieder abgeben.
Statistische Erhebungen jeweils Freitags abends haben eregeben, dass die Firma mit einer wöchentlichen Verteilung der Mietwagen rechnen kann,
die in folgender Übergangsmatrix dargestellt werden kann.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,8 & 0 & 0,2 & 0 \\ 0,1 & 0,5 & 0,3 & 0,4 \\ 0,1 & 0,1 & 0,4 & 0 \\ 0 & 0,4 & 0,1 & 0,6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Reihenfolge hierbei ist von links nach rechts, sowie oben nach unten: Berlin, Köln, Hamburg, Dortmund

Die Firma möchte die 588 Mietfahrzeuge so auf alle Standorte verteilt haben, dass freitags abends immer die gleiche Anzahl von 147 Mietwagen
an jedem Standort vorhanden ist. Aus personalgründen kann die Verteilung nur von Dortmund aus beeinflusst werden.
Bestimmen Sie diejenigen Übergangsquoten von Dortmund aus, mit denen eine stabile Gleichverteilung der Mietfahrzeuge auf alle Standorte zu erreichen ist.

Meine bisherigen Ideen:
Gleichungssystem aufstellen?? :
unbekannte Übergangsmatrix * Startvektor = 147

LG Augenzwinkern

07.03.2012, 01:29

frank09

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RE: Übergangsmatrizen: Autovermietung
So wird es gelöst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,8 & 0 & 0,2 & x_1\\ 0,1 & 0,5 & 0,3 & x_2 \\ 0,1 & 0,1 & 0,4 & x_3 \\ 0 & 0,4 & 0,1 & x_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 147 \\ 147 \\ 147 \\ 147\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}147 \\ 147 \\ 147 \\ 147 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 05:21

Kasen75

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RE: Übergangsmatrizen: Autovermietung
Hallo,

ich wollte nur allgemein anmerken, man die Matrizen anders multiplizieren muss.

$\begin{eqnarray*} (X_1, X_2, X_3, X_4) * \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 &a_4\\ b_1 & b_2 & b_3 &b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3&d_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \\ X_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sonst kommt was falsches raus.

Mit freundlichen Güßen

07.03.2012, 14:41

frank09

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RE: Übergangsmatrizen: Autovermietung

Zitat:

Ich wollte nur allgemein anmerken, man die Matrizen anders multiplizieren muss.

Man muss zwei Matrizen (bzw. Vektor*Matrix/Matrix *Vektor) nur so multiplizieren, dass die Spaltenzahl der linken Matrix (Vektor) identisch ist mit der Zeilenzahl der re. Matrix/Vektor.
In diesem Fall handelt es sich um eine quadratische Matrix, die sich mit einem vier-elementigen Spalten-(Zeilen-)Vektor sowohl von links als auch von rechts
multiplizieren lässt.
Üblicherweise (und so hat es Fragesteller auch im Unterricht gelernt) multipliziert man
den Zustandsvektor von rechts mit der Übergangsmatrix. Dazu kommt, dass eine Multiplikation von links -wie du sie vorschlägst-, die Gleichverteilung schon jetzt konstant halten würde (was gäbe es dann zu lösen?) Außerdem wäre bei deiner Multiplikation das Ergebnis ein Zeilenvektor.

07.03.2012, 19:20

Kasen75

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RE: Übergangsmatrizen: Autovermietung
Hallo,

ich nehme alles zurück. Ich hatte eine Aufgabe wo es anders herum war. Da war die Zeilensumme = 1. Nur dann muss man von links multiplizieren.

Und hier ist ja die Spaltensumme = 1 dann muss der zu multipliplizierende Vektor rechts von der Übergangsmatrix stehen. Schön, dass ich auch etwas dazu gelernt habe.

Mit freundlichen Grüßen Hammer

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