1. und 2. Ableitung Differentialgleichung

06.03.2012, 16:29	florian86	Auf diesen Beitrag antworten »
1. und 2. Ableitung Differentialgleichung Hallo! Ich habe folgende Flächeninhaltsgleichung: $\begin{eqnarray} A = a^{2}\sin(x) \left(1+ \cos(x) \right) \end{eqnarray}$ Nun muss ich die 1. und die 2. Ableitung dieser Gleichung nach x ableiten. Die Lösungen weiß ich zwar schon (Lösungsbuch), aber wie ich auf diese 2 Ergebnisse komme, weiß ich leider nicht. Lösungen laut Lösungsbuch: 1. Ableitung: $\begin{eqnarray} A'\left(x\right)= a^{2}\left(2\cos^{2}(x)+ \cos(x)- 1 \right) \end{eqnarray}$ 2. Ableitung: $\begin{eqnarray} A''\left(x\right)= a^{2}\left(-4\cos(x)\sin(x)-\sin(x) \right) \end{eqnarray}$ Ich komm schon bei der 1. Ableitung nicht auf das Ergebnis im Lösungsbuch. Hab die 1. Ableitung so gerechnet: -Zuerst habe ich die Funktion ausmultipliziert: $\begin{eqnarray} A= a^{2}\sin(x) + a^{2}\sin(x) \cos(x) \end{eqnarray}$ -Danach habe ich noch die Produktregel angewendet: $\begin{eqnarray} A'\left(x\right)= a^{2} \cos(x)+ a^{2} \cos(x) \cos(x)+ a^{2} \sin(x) \left(-\sin(x) \right) \end{eqnarray}$ -Ergibt dann: $\begin{eqnarray} A'\left(x\right)= a^{2}\cos(x)+ a^{2}\cos^{2}(x)- a^{2}\sin^{2}(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A'\left(x\right)= a^{2}\left(\cos^{2}(x)+ \cos(x)- \sin^{2}(x) \right) \end{eqnarray}$ Das wäre mein Ergebnis für die 1. Ableitung, im Lösungsbuch steht aber eine andere Lösung drin. Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp geben, was ich da falsch gemacht habe? Außerdem würde mich interessieren, wie man die 1. Ableitung mit dem Ausdruck von der Hauptfunktion $\begin{eqnarray} A = a^{2}\sin(x) \left(1+ \cos(x) \right) \end{eqnarray*}$ berechnet, ohne dass man die Gleichung zuerst wie ich ausmultipliziert. Vielen Dank im Voraus! LG, Florian
06.03.2012, 16:41	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nicht ausklammern willst, so nutze die Produktregel. Ich würde hier aber wahrscheinlich auch ausklammern . Deine Ableitung ist richtig. Im Lösungsbuch wurde nur ein Additiontheorem angewandt. Was schöner ist...?
06.03.2012, 16:49	florian86	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Equester! Danke für deine schnelle Antwort. Weißt du vielleicht, wo im Internet ich dieses Additionstheorem anfinden kann? Wenn meine Ableitung stimmen sollte, dann verstehe ich nicht, wie man mit diesem Additionstheorem den Sinus-Anteil wegbringt... LG, Florian
06.03.2012, 16:54	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Der trigonometrische Pythagoras: Klick mich. Ist dir sicher bekannt?

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