Vollständige Induktion

06.03.2012, 18:48

Andy2203

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Es sei q ungleich 1!
Beweisen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion die Summenformel der geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} q^{k}= \frac{q^{n}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
i) n=1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} q^{k}= \frac{q^{n}-1 }{q-1}\Rightarrow q^{0} = 1 = \frac{q^{1}-1 }{q-1}=1 \end{eqnarray*}$

ii) Es gelte jetzt für alle n $\begin{eqnarray*} \in (0,1...N) \end{eqnarray*}$

So und jetzt??

06.03.2012, 19:49

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion
Nun summiere bis n auf.

Zitat:

Original von Andy2203
i) n=1
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} q^{k}= \frac{q^{n}-1 }{q-1}\Rightarrow q^{0} = 1 = \frac{q^{1}-1 }{q-1}=1 \end{eqnarray*}$

Noch was zur Schreibweise:

Warum nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{0} q^k=q^0=1= \frac{q^1-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ ??

06.03.2012, 20:03

Andy2203

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RE: Vollständige Induktion
Ich versuche das Summenzeichen in den kopf zu bekommen. Was es eigentlich genau bedeutet und schreibe deswegen alles schön ordentlich auf.
Ich hoffe, dass ich es dadurch besser erkennen kann.
Jetzt sitze ich hier und weiß nicht weiter.

wäre das dann jetzt

$\begin{eqnarray*} q^{N+1-1} + q^{N+1}= \frac{q^{N+1}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$

06.03.2012, 20:05

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion
verwirrt

das verstehe ich nicht.

Wir machen doch nun den Schritt n---> n+1

Also haben wir die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1+1=n} q^k \end{eqnarray*}$ .

Ziehe hier den letzten Summanden heraus und benutze die Induktionsvorraussetzung.

06.03.2012, 20:12

Andy2203

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RE: Vollständige Induktion
Bitte nicht an mir verzweifeln Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} q^{N}= \frac{q^{N+1}-1 }{q-1} \end{eqnarray*}$

06.03.2012, 20:25

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion
Ich verstehe immer noch nicht....

Deine letzte Ausführung ist definitiv falsch und das ist auch nicht zu zeigen.

Mich dünkt, dir ist das Prinzip der Induktion noch nicht ganz klar.

Man betrachtet die Induktionsvorruassetzung für ein bestimmtes n (Induktionsanfang), also in unserem Fall für n=0. Dann nehmen wir an, die Aussage sei für ein beliebiges aber festes n bewiesen und zeigen, dass sie dann auch für n+1 gilt (Induktionsschluss).

Das Prinzip ist wie Domino, es gilt für ein n und für beliebiges n auch für n+1, also gilt es in unserem Fall für n=0, n=0+1=1, n=1+1=2 usw., also für alle n.

Nun mache doch einmal was ich dir gesagt habe:

Zitat:

Also haben wir die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1+1=n} q^k \end{eqnarray*}$ .

Ziehe hier den letzten Summanden heraus und benutze die Induktionsvorraussetzung.

07.03.2012, 18:23

Andy2203

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RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1+1=n} q^k =q^k + q^{n} = \frac{q^{n}-1}{q-1}+q^{n} \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 18:37

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion
Da fehlt das Summenzeichen nach dem 1. Gleichheitszeichen, ansonsten okay.

Nun noch $\begin{eqnarray*} \frac{q^n-1}{q-1}+q^n \end{eqnarray*}$ umformen.

07.03.2012, 18:57

Andy2203

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RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1+1=n} q^k =\sum_{k=0}^{n}q^k + q^{n} = \frac{q^{n}-1}{q-1}+ \frac{q^{n}*(q-1)}{q-1} =\frac{q^n-1+q^{n+1}-q^n}{q-1}= \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich aber verwirrt

Ist das jetzt die Lösung?

07.03.2012, 19:52

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion
Und was verwirrt dich so?

07.03.2012, 20:07

Andy2203

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RE: Vollständige Induktion
Ach ich weiß nicht warum es damit bewiesen sein soll Big Laugh

Bei anderen Induktionen sehe ich das je noch ein aber hier.... unglücklich

Egal...!

Danke für deine Hilfe!

07.03.2012, 20:13

lgrizu

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RE: Vollständige Induktion
Das Dominoprinzip steht, das sagt uns die letzte Gleichung.

Setzen wir auf der linken Seite n+1 ein und benutzen die Vorraussetzung, dann erhalten wir auf der rechten Seite das selbe auch für n+1, die Aussage stimmt6 also für alle n.....

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