Erwartungswert der Lognormal-Verteilung

06.03.2012, 19:22

Thermi

Erwartungswert der Lognormal-Verteilung

Hallo zusammen!
Ich stolpere bei der Berechnung des Erwartungswertes der Lognormal-Verteilung immer wieder über einen Schritt, vielleicht könnt ihr mir ja helfen!

Die Dichte ist für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{\left(ln x - \mu \right)^{2}}{2 \sigma^{2} } } dx \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

Den Erwartungswert berechne ich durch

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{-\infty}^\infty \! xf(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Durch Substitution $\begin{eqnarray*} z = ln x \end{eqnarray*}$ erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^\infty \! exp\left\{-\frac{z^{2}-2z\mu+\mu^{2}}{2\sigma^{2}}+z\right\} \, dz \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit in den Bruch bekommen, um quadratisch ergänzen zu können, dann muss ich ja aber mit $\begin{eqnarray*} 2\sigma^{2} \end{eqnarray*}$ erweitern, und habe dann $\begin{eqnarray*} \frac {2 \sigma^{2} z}{2 \sigma^{2}} \end{eqnarray*}$ . Für die quadratische Ergänzung bräuchte ich jedoch den Term $\begin{eqnarray*} 2 \sigma z \end{eqnarray*}$ auf dem Bruchstrich (um dann in weiteren Schritten auf $\begin{eqnarray*} \left(z-\mu-\sigma\right) ^{2} \end{eqnarray*}$ zu kommen). Kann vielleicht jemand meinen Denkfehler aufdecken?

Würde mich über eure Hilfe freuen! smile

07.03.2012, 10:48

Huggy

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RE: Erwartungswert der Lognormal-Verteilung

Zitat:

Original von Thermi
(um dann in weiteren Schritten auf $\begin{eqnarray*} \left(z-\mu-\sigma\right) ^{2} \end{eqnarray*}$ zu kommen). Kann vielleicht jemand meinen Denkfehler aufdecken?

Du musst nicht auf genau diesen Term kommen. Zieh einfach die quadratische Ergänzung durch. Dann wird das Ergebnis schon richtig.

Du kannst dir die Arbeit erleichtern, wenn du mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} z=\frac{\ln x - \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

beginnst.

07.03.2012, 12:02

Thermi

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Danke für deine Antwort! Ich werds heute Nachmittag mal ausprobieren, hatte mich bisher an einem anderen Thread aus dem Matheboard orientiert, in dem anders substituiert wurde..

08.03.2012, 19:33

Thermi

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Hat geklappt, besten Dank! smile

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