Affinitäten

06.03.2012, 22:38	himmie	Auf diesen Beitrag antworten »
Affinitäten Edit (mY+): Bitte KEINE Hilfeersuchen, schon gar nicht im Titel! Meine Frage: Guten Abend an alle! Also ich hab hier einige kleine (grosse) Probleme bei Aufgaben, bei denen ich einfach nicht weiterkomme :s Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Bei folgenden Aufgaben habe ich Mühe: 1. Das Dreieck A (0\|-1), B (5\|2), C (2\|3) soll um den Pkt P (3\|-2) um 90° gedreht werden (im positiven und negativen Drehsinn) und zwar mit einer Affinität.. Ich dachte mir, dass die Affinität folgende sei, aber die scheint falsch zu sein, da die Bildpkte des Dreiecks dann nicht mit den Lösungen übereinstimmen: x' = cos(90°) (x-3) - sin(90°) y + 3 also ist x' = 3 - y y' = sin(90°) x + cos(90°) (y + 2) - 2 also ist y' = x - 2 (Lösungen für die Bildpkte sollen: A' (2\|-5), B' (-1\|0), C' (-2\|-3) und A' (4\|1), B' (7\|-4), C' (8\|-1) sein) 2. Bei dieser Aufgabe soll ich die Gleichungen für die Spiegelungen an folgenden Geraden aufstellen: i) y = mx ii) Ax + By + C = 0 Ich habe absolut keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll...selbst mit vorgegebenen Lösungen.. Lösung i): x' = ((1 - m^2) / (1 + m^2)) x + ((2m) / (1 + m^2)) y y' = ((2m) / (1 + m^2)) x - ((1 - m^2) / (1 + m^2)) y Lösung ii): x' = 1 / (A^2 + B^2) [(B^2 - A^2) x - 2ABy - 2AC] y' = 1 / (A^2 + B^2) [-2ABx + (A^2 - B^2) - 2BC] Danke schonmal im Voraus! himmie Meine Ideen:
07.03.2012, 00:58	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe bei Affinitäten Bevor du das Dreieck drehst, verschiebst du es ja so, dass das Drehzentrum der Ursprung ist. Demzufolge ersetzt du die alten Koordinaten x,y durch (x-3) und (y+2), und zwar konsequent. So siehts richtig aus: x' = cos(90°) (x-3) - sin(90°) (y+2) + 3 y' = sin(90°) (x-3) + cos(90°) (y + 2) - 2 Ein Spiegelung an der Geraden y=mx ist gleichbedeutend mit einer Spiegelung am Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \vec{v_e}=\frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v} \end{eqnarray}$ Es gilt: P+P'=2S $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ P'=2S-P Nun ist $\begin{eqnarray} S=(\vec{v_e}P)\vec{v_e}=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} x+ym \\ xm+ym^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Im 2. Fall gilt für den Normalenvektor der Spiegelgerade $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \vec{n_e}=\frac{1}{\|\vec{n}\|}\vec{n} \end{eqnarray}$ Es gilt: P'=P-2N* sowie S=(0\|-C/B) $\begin{eqnarray} N=(\vec{n_e}SP)\vec{n_e}=\frac{1}{A^2+B^2}\begin{pmatrix} A(Ax+By+C) \\ B(Ax+By+C) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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