Induktion letzter Schritt

07.03.2012, 00:05	ermeglio	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion letzter Schritt Meine Frage: Hallo zusammen, habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe, und zwar fehlt mir der letzte Schritt :-( jede Hilfe ist willkommen! Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle n gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (\frac{1}{2} )^k = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ ...+ (\frac{1}{2} )^n = 1 -(\frac{1}{2} )^n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Induktionsverankerung: $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2} )^1 = 1 - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Beweis: offensichtlich Induktionsschluss: Annahme: $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2} )^1 + ... +(\frac{1}{2} )^k= 1 -(\frac{1}{2} )^k \end{eqnarray}$ Zeige: $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2} )^1 + ... +(\frac{1}{2} )^{k}+(\frac{1}{2} )^{(k+1)}= 1 -(\frac{1}{2} )^{(k+1)} \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2} )^1 + ... +(\frac{1}{2} )^{k}+(\frac{1}{2} )^{(k+1)}= 1 -(\frac{1}{2} )^k + (\frac{1}{2} )^{(k+1)} \end{eqnarray}$ also muss folgendes bewiesen werden: $\begin{eqnarray} 1 -(\frac{1}{2} )^k + (\frac{1}{2} )^{(k+1)} = 1 -(\frac{1}{2} )^{(k+1)} \end{eqnarray}$ aber wie weiter??? danke an allen! gruss ermeglio
07.03.2012, 00:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere doch einmal bei den letzten beiden Summanden $\begin{eqnarray} -\left( \frac 1 2 \right)^k \end{eqnarray}$ aus.
07.03.2012, 00:39	ermeglio	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU meinst etwa so: $\begin{eqnarray} 1 - [(\frac{1}{2} )^{k}(1-\frac{1}{2} )] \end{eqnarray}$
07.03.2012, 00:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und was ist nun $\begin{eqnarray} 1 - \frac 1 2 \end{eqnarray}$ ?
07.03.2012, 00:57	ermeglio	Auf diesen Beitrag antworten »
oops... ok, alles klar... vielen, vielen Dank!! ein lieber Gruss und danke!

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