Frage zu Beweis: Integritätsring ist genau dann faktoriell wenn ...

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latingirl Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Beweis: Integritätsring ist genau dann faktoriell wenn ...
Meine Frage:
Hallo!

Sei R ein Integritätsring.
Zu zeigen ist:
R ist faktoriell <=>
(a) die Menge der Hauptideale ist noethersch
(b) alle irred. Elemente sind prim.

Ich habe eine Frage zum Beweis der Rückrichtung:

<a> sei maximal in Menge der Hauptideale <b> mit Erzeuger b, die nicht Null sind und nicht in E(R) liegen und auch keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen.
<m> sei maximal in der Menge der Hauptideale, die <a> enthalten, aber nicht ganz R sind.

Mir ist klar, dass dann m ein Teiler von a und auch keine Einheit ist. Wegen der Maximalität von <a> bzgl. der Nichtzerlegung in irred. Elemente muss sich dann a/m = p_1 x ... p_k für irred. Elemente p_i gelten.
Jetzt meine Frage:
Wir schreiben als nächstes ganz selbstverständlich: a/m = p_1 x ... p_k - diese Schreibweise ist naheliegend. Aber m ist ja keine Einheit, also existiert doch das "Inverse" 1/m gar nicht in R ???


Meine Ideen:
leider keine...
latingirl Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Schreibweise a/m vielleicht nur "Konvention" und man braucht sie gar nicht im Hinblick auf die Existenz eines Inversen zu m interpretieren?
Versteht ihr?

Und noch eine weitere Frage:
Es bleibt ja noch die bis auf Einheiten eindeutige Zerlegung jedes Elements in irred. Elemente zu zeigen:
Hier der Ansatz in meinem Beweis:
Seien p_1 x ... p_k = q_1 x ... q_l zwei Zerlegungen in irreduzible Elemente.
Dann sind beide Seiten durch p_1 teilbar - das ist mir klar!
Wegen der Voraussetzung (b) ist p_1 prim und somit p_1 assoziiert zu einem q_i - hier liegt das Problem!

Da p_1 prim gilt p_1 teil q_i oder p_1 teilt q_1 x ... x q_(i-1) x q_(i+1) x ... x q_l.
Wer sagt mir aber, dass auch gilt: q_i teilt genau wieder p_1, das brauch ich ja für die Assoziiertheitseigenschaft???
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