Frage zu Beweis: Integritätsring ist genau dann faktoriell wenn ... |
07.03.2012, 08:42 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Frage zu Beweis: Integritätsring ist genau dann faktoriell wenn ... Hallo! Sei R ein Integritätsring. Zu zeigen ist: R ist faktoriell <=> (a) die Menge der Hauptideale ist noethersch (b) alle irred. Elemente sind prim. Ich habe eine Frage zum Beweis der Rückrichtung: <a> sei maximal in Menge der Hauptideale <b> mit Erzeuger b, die nicht Null sind und nicht in E(R) liegen und auch keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzen. <m> sei maximal in der Menge der Hauptideale, die <a> enthalten, aber nicht ganz R sind. Mir ist klar, dass dann m ein Teiler von a und auch keine Einheit ist. Wegen der Maximalität von <a> bzgl. der Nichtzerlegung in irred. Elemente muss sich dann a/m = p_1 x ... p_k für irred. Elemente p_i gelten. Jetzt meine Frage: Wir schreiben als nächstes ganz selbstverständlich: a/m = p_1 x ... p_k - diese Schreibweise ist naheliegend. Aber m ist ja keine Einheit, also existiert doch das "Inverse" 1/m gar nicht in R ??? Meine Ideen: leider keine... |
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07.03.2012, 09:09 | latingirl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist die Schreibweise a/m vielleicht nur "Konvention" und man braucht sie gar nicht im Hinblick auf die Existenz eines Inversen zu m interpretieren? Versteht ihr? Und noch eine weitere Frage: Es bleibt ja noch die bis auf Einheiten eindeutige Zerlegung jedes Elements in irred. Elemente zu zeigen: Hier der Ansatz in meinem Beweis: Seien p_1 x ... p_k = q_1 x ... q_l zwei Zerlegungen in irreduzible Elemente. Dann sind beide Seiten durch p_1 teilbar - das ist mir klar! Wegen der Voraussetzung (b) ist p_1 prim und somit p_1 assoziiert zu einem q_i - hier liegt das Problem! Da p_1 prim gilt p_1 teil q_i oder p_1 teilt q_1 x ... x q_(i-1) x q_(i+1) x ... x q_l. Wer sagt mir aber, dass auch gilt: q_i teilt genau wieder p_1, das brauch ich ja für die Assoziiertheitseigenschaft??? |
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