Grenzwert nte Wurzel (n+1)

07.03.2012, 09:14

smgdennis

Grenzwert nte Wurzel (n+1)

Meine Frage:
ich möchte den Grenzwert (gegen oo) von

$\begin{eqnarray*} (n +1)^{1/n} \end{eqnarray*}$ berechnen.

Ich weiß bereits das n^1/n -> 1 konvergiert.

Meine Ideen:
Meine Idee war es nun $\begin{eqnarray*} n^{1/n} <= (n + 1)^{1/n} <= ?? \end{eqnarray*}$ zu setzen Jedoch kene ich keine funktion die größer gleich $\begin{eqnarray*} (n + 1)^{1/n} \end{eqnarray*}$ ist. oder wir kann man dies einfacher beweisen? ich komme einfach nicht auf die schlagende Idee?

Vielen Dank

07.03.2012, 09:44

lgrizu

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RE: Grenzwert nte Wurzel (n+1)
An was erinnert dich denn folgendes:

$\begin{eqnarray*} \left(1+ \frac{1}{\frac{1}{n}} \right)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ?

07.03.2012, 10:31

smgdennis

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an die Fole lim n->oo $\begin{eqnarray*} (1 + 1/n)^{n} = e \end{eqnarray*}$ , das kann es aber doch net sein, weil n>= 1 sein muss und 1/n ist für n>= 2 kleiner als 1. bzw. wie würde es denn aussehen wenn ich lim n->00 $\begin{eqnarray*} (2+n)^{1/n} \end{eqnarray*}$ nehme

07.03.2012, 10:39

tmo

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RE: Grenzwert nte Wurzel (n+1)
Das Sandwhich ist genau die richtige Idee.

Es ist doch z.B.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n+1} \leq \sqrt[n]{n^2} \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 10:46

Q-fLaDeN

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RE: Grenzwert nte Wurzel (n+1)
@lgrizu
Substutuiert man 1/n = z muss man ja z -> 0 betrachten, da hilft einem diese Definition der e-Funktion nicht viel weiter, oder täusche ich mich?

@smgdennis
Eine andere Möglichkeit wäre auch $\begin{eqnarray*} a = \exp(\ln(a)) \end{eqnarray*}$ für a > 0 und anschließend L'Hospital zu nutzen.

07.03.2012, 11:02

smgdennis

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@tmo ist denn [latex] (n+1)^{1/n} immer kleiner gleich (n^2)^{1/n} [latex]

also bei n = 1 gilt wurzel(2) <= wurzel(1) = 1?

bzw wenn ich wie oben gesagt n+2 statt n nehme wie kann ich das ohne l Hospital lösen. Das hatten wir in der vorlesung nicht

07.03.2012, 11:06

tmo

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$\begin{eqnarray*} n+1 \leq n^2 \end{eqnarray*}$ gilt natürlich für n = 1 nicht. Aber es sollte doch klar sein, dass es für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt. Und mehr braucht man nicht..

Und selbst wenn man $\begin{eqnarray*} n+a \end{eqnarray*}$ mit beliebigem a hat, so gilt für hinreichend große n immer $\begin{eqnarray*} n+a\leq n^2 \end{eqnarray*}$ . Auch das ist ausreichend für doe Lösung der Aufgabe.

07.03.2012, 11:12

smgdennis

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Wir hatten nur in der Definition des Sandwichtheorems, dass es für alle n element N gelten soll. Klar ist es vollkommen offensichtlich , dass n^2, aber einem n element N größer gleich n+1 ist, aber ich wollte exakt diese Definition anwenden. Eigentlich kann man das Sandwichtheorem doch dann erweitern. von "für alle n element N" auf "Es existiert ein n0 element N für das alle n>n0", da es für

07.03.2012, 11:17

klauss

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Unverbindliche Zwischenfrage:
Sollte man nicht mit e und ln am schnellsten zum Ergebnis kommen?
(Standardgrenzwert/2. Grenzwertsatz)

07.03.2012, 11:30

tmo

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Zitat:

Original von smgdennis
Eigentlich kann man das Sandwichtheorem doch dann erweitern. von "für alle n element N" auf "Es existiert ein n0 element N für das alle n>n0"

Genau. Denn die ersten endlich vielen Folgenglieder ändern nichts am Grenzwert.

Formal könnte man zur Folge $\begin{eqnarray*} b_n := a_{n+n_0} \end{eqnarray*}$ übergehen. Dann gilt das Sandwhich bzgl. der Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ nämlich schon ab dem ersten Folgenglied.

@klauss: Man betrachtet die Grenzwerte von Folgen meist, bevor man überhaupt angefangen hat von Funktionen, Stetigkeit und Co. zu sprechen. Deswegen ist es hier nicht sinnvoll mit solchen Sachen zu argumentieren. Der Threadersteller sagte ja bereits, dass er noch kein l'Hospital benutzen darf.

Und: Was bitteschön soll schneller gehen als eine Zeile? Mehr ist das nämlich mit den Sandwhich nicht.

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