Parabel Schnittpunkt

07.03.2012, 10:56

Tipso

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Parabel Schnittpunkt

Hallo,

Aufgabenstellung:

Bestimmen sie die Nullstellen und Scheitel der Parabel $\begin{eqnarray*} p: y = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$ und die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden, $\begin{eqnarray*} g: y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und zeichne $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Beachte, ich habe über die Thematik keine Information.
Die im Internet ist mir zu kompliziert. ( noch )

lg

07.03.2012, 11:06

klauss

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RE: Parabel Schnittpunkt
1. Nullstellenbestimmung der Parabel mit pq-Formel.
2. Scheitelpunktform aufstellen: Entweder mit den Koeffizienten gemäß Formelsammlung oder (eleganter) durch quadratische Ergänzung zum Binom (dieses steht ja schon zum Teil da).
3. Schnittpunkte berechnen durch Gleichsetzen der Funktionsvorschriften.

07.03.2012, 12:17

Tipso

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$\begin{eqnarray*} p: y = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{x^2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{x^2}{2} \right)^2 - 3 } \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 12:20

klauss

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Die ersten 2 Zeilen stimmen (für y = 0), aber dann:
Was ist denn p gemäß Formel?

07.03.2012, 12:21

Tipso

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Ich weiß die genaue Definition nicht, habe jetzt jedoch herausgefunden das p = -4 in meinem Beispiel.

lg

07.03.2012, 12:21

Tipso

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$\begin{eqnarray*} p: y = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{4^2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4^2}{2} \right)^2 - 3 } \end{eqnarray*}$

warum 4 und nicht -4 ?

lg

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07.03.2012, 12:27

klauss

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p = -4 stimmt (der Koeffizient beim linearen x), aber dann hast Du dies falsch in die Formel eingesetzt.
Statt p einfach -4 reinschreiben und dann ggf. die Vorzeichen anpassen (und nicht quadrieren, wo kein Quadrat ist) .

07.03.2012, 12:32

Tipso

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$\begin{eqnarray*} p: y = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2 - 3 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_ 2 = 5 \end{eqnarray*}$

lg

ps.

Wobei

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{-4}{2} \right) = -\left(\frac{4}{2} \right) \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 12:41

klauss

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So, jetzt hast Du richtig eingesetzt, aber falsch weitergerechnet.
Hinweis zur Kontrolle (nach Vieta):
p ist minus die Summe der Nullstellen, q ist das Produkt der Nullstellen.

07.03.2012, 12:46

Tipso

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$\begin{eqnarray*} p: y = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2 - 3 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 =3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_ 2 = 1 \end{eqnarray*}$

Puhhh

Mein Fehler war, die fehlende Klammernsetzung.

lg

Ps.

Was bedeutet - die Summe der Nullstellen und das Produkt der Nullstellen ?

07.03.2012, 12:53

klauss

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Freude

Na dann weiter im Programm. Ich empfehle zunächst die Schnittpunkte mit der Geraden zu berechnen, da die Scheitelpunktsermittlung hier der "anspruchsvollste" Teil sein dürfte (ich gehe davon aus, dass keine Differentialrechnung benutzt werden darf).

P. S.:
Rechne doch mal -(x1 + x2) und x1*x2 und vergleiche mit der Originalfunktion.

So als Information: Die pq-Formel gilt so in der normierten Fassung nur, wenn der Koeffizient beim x^2 1 ist. Wenn der ungleich 1 ist, müßtest Du die gesamte Gleichung vorher durch diesen Wert teilen. Aber das nur nebenbei, falls Du auch entsprechende andere Funktionen/Gleichungen untersuchen mußt.

07.03.2012, 13:01

Tipso

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Hi,

was bedeutet nun das x_1 und x_2 für mich ?
Sind dies die Nullstellen ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-(x1 + x2) und x1*x2

-2x3 ( x + x und 1 + 2) ; 2x^2 ( x *x und 1 * 2)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ja, ich darf keine Differenzialrechnung benutzen. Ps. Habe ich noch nicht gehabt.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Wie berechnet man einen Schnittpunkt mit einer Geraden ?
Das ist ja ne Parabel und das andere eine Gerade ?

lg

07.03.2012, 13:09

klauss

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Also: x1 = 3 und x2 = 1 sind die Nullstellen der Parabel

Daher gilt:
-(x1 + x2) = -(3 + 1) = -4
x1 * x2 = 3* 1 = 3
und das sind die Koeffizienten der Parabel.

Um den/die Schnittpunkt(e) der Parabel mit der Geraden auszurechnen, setzt Du jetzt die Funktionsvorschriften von p(x) und g(x) gleich und löst nach x auf.

07.03.2012, 13:15

Tipso

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Puhhhh

Ich mache ne kurze Pause.

Weiß aber jetzt schon das ich mindestens 1h brauchen werde um es zu verstehen Mit Zunge

Mit Zunge

lg

07.03.2012, 14:01

Tipso

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$\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt löse ich auf x auf und erhalte damit

ich setzte dabei für x^2 = x_1^2 und 4x = 4x_2 ein.

Soweit bin ich richtig ?

lg

07.03.2012, 14:05

klauss

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Aha zurück!
Nein, mit den Nullstellen der Parabel haben die Schnittpunkte nichts zu tun.
Ich hätte vielleicht nicht sagen sollen: nach x auflösen, da dies evtl. irreführend war. Die Gleichung stellst Du jetzt so zur quadratischen Gleichung um, dass rechts nur eine 0 steht.

07.03.2012, 14:09

Tipso

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[quote]Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ [ /-3/+4x/-x^2]

$\begin{eqnarray*} 0 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} -x^2 + 4x -3 \end{eqnarray*}$

so ?

07.03.2012, 14:11

klauss

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Fast, RECHTS soll die 0 stehen!

07.03.2012, 14:17

Tipso

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$\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ [ /+(1/2)x /-(1/2)x]

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 3 +\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 14:21

klauss

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Richtig. Jetzt die linearen x-Terme und die Konstanten zusammenfassen, dann erhältst Du eine neue quadratische Gleichung, die wie vorhin mit der pq-Formel zu lösen ist.

(Wie ich oben sagte, muß der Koeffizient von x^2 1 sein, das ist hier der Fall)

07.03.2012, 14:24

Tipso

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$\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + 3 +\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - 3,5x - 2,5 \end{eqnarray*}$

Hammer

Hammer

07.03.2012, 14:26

klauss

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+ 2,5
und das Ganze = 0

07.03.2012, 14:31

Tipso

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$\begin{eqnarray*} x^2 - 3,5x + 2,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1;2} = -\frac{-3,5}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-3,5}{2} \right)^2 - 2,5 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

07.03.2012, 14:38

klauss

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Freude

Freude

Jetzt läufts.
So wir haben die x-Werte der Schnittpunkte. Um die Schnittpunktkoordinaten anzugeben, brauchen wir noch die dazugehörigen y-Werte.

07.03.2012, 14:45

gast2011

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Wink

07.03.2012, 15:03

Tipso

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Thx für das Bild @gast2011 Wink

Wink

@klauss

Wir setzen die x Werte in eines der beiden Gleichungen ?
oder nur in die Geradengleichung ?
$\begin{eqnarray*} p: y = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

15 30 muss ich auf die Arbeit und werde erst Morgen wieder vorbeischauen.

lg

07.03.2012, 15:06

klauss

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Da es Schnittpunkte sind, muß bei beiden dasselbe herauskommen.
Also am besten zur Probe in beide einsetzen.

07.03.2012, 15:13

Tipso

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$\begin{eqnarray*} x_1 = 2,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p: x_1 = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p: x_1 = 2,5^2 - 4*2,5 + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p: x_1 = - 0,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p: x_2 = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p: x_2 = 1^2 - 4*1 + 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p: x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Sieht gut aus. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} g: y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: x_1 = -\frac{1}{2}*2,5 + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: x_1 = - 0,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: x_2 = -\frac{1}{2}*1 + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: x_2 = 0 \end{eqnarray*}$

08.03.2012, 13:38

Tipso

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Wie geht es weiter ?

Scheitelpunktbestimmung ?

lg

08.03.2012, 13:57

klauss

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Die Scheitelpunktform hat allgemein die Form
$\begin{eqnarray*} a(x-b)^{2} + c \end{eqnarray*}$
wobei a der Koeffizient von x^2 ist (hier = 1, kann also vernachlässigt werden)
Wir müssen also die Terme mit x^2 und x zu einem Binom zusammenfassen.
In diesem Fall sehen die beiden schon so aus, wie eine bestimmte binomische Formel sie liefert. Welche?

08.03.2012, 16:08

Tipso

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Bis zum Wochenende, ich werde leider bisdahin nicht Online sein können.

Thx für deine Hilfe.

Ps.

Arbeit danach zu Verwandte.

10.03.2012, 15:50

Tipso

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Zitat:

Original von klauss
Die Scheitelpunktform hat allgemein die Form
$\begin{eqnarray*} a(x-b)^{2} + c \end{eqnarray*}$
wobei a der Koeffizient von x^2 ist (hier = 1, kann also vernachlässigt werden)
Wir müssen also die Terme mit x^2 und x zu einem Binom zusammenfassen.
In diesem Fall sehen die beiden schon so aus, wie eine bestimmte binomische Formel sie liefert. Welche?

Die erste Binormische Formel ?

lg

11.03.2012, 13:17

Equester

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Damit ich für klauss einspringen kann, sagst du mir schnell, welche der Funktionen du
auf den Scheitel untersuchen willst?

11.03.2012, 13:29

Tipso

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Hi,

den Scheiter der Parabel. Freude

Freude

11.03.2012, 13:31

Equester

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Ah es gibt nur eine. Ok Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} p: y = x^2 - 4x + 3 \end{eqnarray*}$

klauss hatte schon erwähnt auf welche Form wir das Ganze zu bringen haben.
Wir betrachten jetzt nur mal x²-4x+?. Wende die binomische Formel an und ersetze
mir das ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

11.03.2012, 13:38

Tipso

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Zweite Binomische Formel.

Gute Frage, wie ich das machen soll ?

Die 3 habe ich doch schon.
Und warum mache ich das ? Was ist der Grund ?

x^2+4x+ hmm

3 = x^x?

lg

11.03.2012, 13:50

Equester

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Die 3 ist momentan störend. Wir verrechnen später mit dem was übrig bleibt.
Was du nun machen sollst, ist die binomische Formel anzuwenden und dabei das
? durch eine sinnvolle Zahl zu ersetzen. Dabei wird getrickst. Du addierst das ? und
subtrahierst es gleich wieder...du hast also 0 addiert.
Ist dieser Trick klar?
Der Teil des ? der übrig bleibt wird mit den 3 verrechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Schau auch hier nochmals: klick mich

11.03.2012, 14:09

Tipso

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Heftig!!

11.03.2012, 14:13

Equester

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Das darf jetzt wie aufgefasst werden? :P

11.03.2012, 14:15

Tipso

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Ich habe es 2x gelesen und nichts verstanden. unglücklich

unglücklich

Ich mach eine Pause von 5mi u versuch es dann nochmals.

lg

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