Abstand windschiefer Geraden mit Schar

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SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand windschiefer Geraden mit Schar
Meine Aufgabe:

So, ich setze mich gerade mit einer Schar auseinander, verstehe den Vorgang und kommde dennoch auf ein falsches Ergebnis.

Zur Beschreibung der Position von Flugzeugen im Luftraum werde ein kartesisches Koordinatensystem benutzt. Die als eben angenommene Erdoberfläche liege in der x-y-Ebene.
Die Flugbahn des Flugzeuges F1 verläuft geradlinig durch die Punkte P(0; 15; 8) und

Q (2; 13; 8). Für jedes k (k &#8712; N, 0 < k &#8804; 20) verläuft eine mögliche geradlinige Flugbahn des Flugzeuges F2 durch die Punkte Sk (15; -2,5; k/2) und Tk (30; -10; k).

Aufgabe) Von einem "Beinahezusammenstoß" spricht man, wenn der Abstand zweier Flug­zeuge weniger als eine Längeneinheit beträgt. Für welche Werte von k kann es auf den Bahnen der Flugzeuge F1 und F2 zu einem "Beinahezusammenstoß" kommen?

Meine Idee:

2 Geradeb bilden und den Abstand zueinander berechnen (Windschief). Danach das ganze =1 setzen und k bestimmen.





Formel zur Abstandsberechnung Windschiefer Geradeb:

und



Davon noch einmal der Betrag, sodass kein Negatives Ergebnis herrauskommen kann.







Somit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:



Ist das bisher richtig so?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Davon noch einmal der Betrag, sodass kein Negatives Ergebnis herrauskommen kann.


Das hat mit negativ oder positiv hier nichts zu tun, sondern mit Normierung.


Zitat:


Nicht -2k² denn (-k)²+(-k)²=...

Der Rest stimmt.
 
 
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Resultiert aber nicht aus +(-k^2) gleich -k^2 und daraus mithilfe dem anderen -k^2 gleich -2k^2 ?

Ansonsten ist wirklich die Vorangehensweise und meine bisherigen Ergebnisse zu 100% korrekt?^^
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Desweiteren wollte ich noch fragen, ob ich die Betragsstriche bei der Gleichsetzung mit 1 weglassen kann bzw. sogar soll ? Und vor allem weshalb?
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt irgendwie keinen Sinn. Irgendwo muss mein Fehler stecken, denn wenn ich alles auflöse bildet sich die Quadratische Gleichung: .

Zwar habe ich nun eine Gleichung herrausbekommen aber meine k bekomme ich nicht herraus, da die Wurzel in der PQ-Formel negativ ist! Da hat sich bestimmt ein Fehler im Rechenvorgang eingeschlichen.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand einen Ratschlag? Mir ist es wirklich wichtig ans Ergebnis zu kommen und ich weiss das ich sehr nah dran bin. Irgendwo hat sich sicher nur ein kleiner Fehler eingeschlichen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler wurde dir schon gezeigt! Unter der Wurzel muss stehen!
Also kommt



Übrigens: Wir schreiben: heraus (!)

mY+
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bekomm ich trotzdem als Lösung nur zwei falsche Ks heraus, obwohl die Lösungsmenge eigentlich für k = 10; 11; 12; 13; 14 lauten soll.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese k's sind nicht falsch. Du musst nur jene k nehmen, die in liegen und die geforderte Bedingung erfüllen.
Ich habe mich zunächst auf die von Björn bereits korrigierte Gleichung bezogen. Diese ist quadratisch und hat demzufolge 2 Lösungen (9.94 und 14.55). Das sind nur die Randwerte, für die der Abstand genau 1 ist. Nun kommen jene natürlichen k in Frage, für die der Abstand weniger als 1 beträgt.

Daraus folgt, dass du eigentlich die Lösungsmenge einer Ungleichung zu bestimmen hast. Wo (in welchem Bereich) werden wohl die in Frage kommenden k liegen?



mY+
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müssen das wohl die zwischen k=9.94 und K=14.55 sein. Und aus dem Graphen heraus erkennt man deutlich das die Werte 10,11,12,13 und 14 bedeutend sind, da diese unter anderem auch unter der x-Achse liegen bzw. der Graph unter dieser liegt. Aber ich frage mich gerade weshalb ich auch nicht die 15 dazunehmen kann, da diese aufgerundet auch 15 ist. Ohne Berücksichtigung des Graphen also. Desweiteren weiss ich immer noch nicht weshalb es 2k^2 anstatt - sein muss.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das ganze durch 98 teile um somit alles schriftlich zu bestimmen bekomme ich in der PQ Formel ein - in der Wurzel heraus. Was mache ich falsch ?

//Erledigt: Habe es auch schriftlich richtig bestimmen können. Trotzdem besteht bei mir immer noch ein Fragezeichen bezüglich der +2k^2
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens: Wieviel ist ? Das hat dir Björn schon hingeschrieben!
Zweitens: Ist dir inzwischen klar, wie die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung in wirklich aussieht?
Was sagt dir die Grafik?

mY+
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, theoretisch kann K alle Werte zwischen etwa k=9.94 und K=14.55 annehmen. In der Lösung steht für K ist 10,11,12,13,14. Ist das aber nicht etwas falsch? Ich meine das Flugzeig kann ja auch alle Dezimalzahlen, zwischen diesen einzelnen Zahlen annehmen?

Bezüglich des +2k^2. + und - lösen sich doch im Normalfall auf und daraus resultiert dann -k^2. Zähle ich diese -Ks zusammen, ergibt sich -2k^2. -.-
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zuerst die Quadrate ausrechnen und DANN erst addieren. WIE sieht denn das Vorzeichen des Quadrates einer negativen Zahl aus?
________________

Natürlich kann das Flugzeug jeden beliebigen Punkt innerhalb dieses Intervalls annehmen. Aber hast du mal in die Angabe gesehen? Obwohl man diese infolge deines gedankenlosen cut 'n' paste nicht lesen kann (bitte dieses in Hinkunft zu vermeiden!), vermeine ich doch zu erkennen, dass die Lösungen für k innerhalb der natürlichen Zahlen liegen sollen. Oder?

mY+
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, vielen dank. Erst quadrieren und danach zusammenfassen! Und da gerade exponenten verwendet werden resultiert aus diesem ein positiver Wert. Und das zusammenaddiert ergibt wiederum einen positiven Wert.

Ja, dass stimmt vollkommen. Habe es auch übersehen und desweiteren ist mein ein dummer Fehler beim einfügen eingeschlichen. k € N soll es bedeuten im Intervall 0 bis 20!

Super, dann ist das nun auch gelöst. Trotzdem bleiben mir noch 2 weitere Aufgaben.

Aufgabe Nr 1d)

"Die geradlinig verlaufende Grenze zum Nachbarland geht durch die Punkte G(0/-33/0) und H(100/-83/0). Die Grenze des Luftraumes ist eine zur Erdoberfläche (x1x2-Ebene) senkrechte Ebene, die die Landesgrenzen enthält. Aus Sicherheitsgründen muss sich ein Flugzeug bei Annäherung an das Nachbarland spätestens dann bei dessen Bodenstation anmelden, wenn der Abstand zur Luftraumgrenze 10 LE beträgt. Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem sich Flugzeug F1 , welches sich im Punkt P befindet und sich der Luftraumgrenze des Nachbarlandes nähert, spätestens bei der Bodenstation des Nachbarlandes anmelden muss.,,

Auch hier glaube ich zu wissen, wie man vorangehen sollte. Das heißt, ich berechnen einen Abstand. Vermutlich zwischen der senkrechten Ebene der Grenze und des Punktes/Geraden/Ebene (Hier bin ich mir unsicher) des Flugzeuges F1. Dabei muss der Abstand 10 betragen. Ich berechne die Gleichung und die gelöste Variable setze ich in die Ausgangsgerade von F1 ein um den Punkt zu bestimmen, an dem sich dieser am spätesten (Also 10 FE) melden muss!

Gruß.

//Edit: Der Abstand zwischen Gerade/Ebene und Ebene ist glaube ich falsch oder? Der kürzeste Abstand wäre ja hier immer 0, außer sie liegen Parallel.

Deshalb vermute ich das man hier den Abstand 10 zwischen 2 Geraden berechnen soll, die Windschief zueinander sind.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Obwohl, in der Aufgabe steht das eine Senkrechte Ebene für die Grenze gebildet wird. Nun bin ich echt verwirrt, denn dann bleibt ja nur noch der Abstand zwischen Ebene und Punkt oder irre ich mich da?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Flugzeug fliegt parallel zur x-y - Ebene und befindet sich rechts von der von der Landesgrenze ausgehenden zur Horizontalebene senkrechten Ebene. Die Gleichung dieser Ebene muss durch zwei Richtungsvektoren (GH und Einheitsvektor in z-Richtung) und einen Stützpunkt (G oder H) festgelegt werden.
Der gesuchte Punkt, in dem die Meldung erfolgen muss, liegt dann in einer zu dieser Ebene parallelen Ebene im Abstand 10. Deren Gleichung kann so bestimmt werden, dass zu der HNF der ersten Ebene der Abstand 10 addiert oder subtrahiert wird (die zweite Ebene muss näher beim Nullpunkt liegen). Der Schnittpunkt der Flugbahn mit dieser Ebene ist der gesuchte Punkt.

mY+
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es nun verstanden, aber bezüglich der praktischen Umsetzung habe ich noch ein paar Fragen bzw. brauche ich Bestätigungen.

,,Die Gleichung dieser Ebene muss durch zwei Richtungsvektoren (GH und Einheitsvektor in z-Richtung) und einen Stützpunkt (G oder H) festgelegt werden"

Ist es denn hier nicht egal, was ich hier als Stützvektor/Richtungsvektor wähle? Ergibt doch alles eine Senkrechte Ebene?

,,Der gesuchte Punkt, in dem die Meldung erfolgen muss, liegt dann in einer zu dieser Ebene parallelen Ebene im Abstand 10"

Wird mit der anderen Ebene das Flugzeug gemeint, welches sich sozusagen etwas schwingt beim Fliegen? Denn einen anderen Grund, weshalb ich eine zweite Ebene wähle fällt mir nicht ein. Und die Ebene für dieses Flugzeug bilde ich dann mithilfe der derzeitigen Gerade und noch einem Punkt der Ebene der Landesgrenze?

Gruß.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du denn sonst die Gleichung dieser senkrechten Ebene bestimmen, wenn nicht durch die zwei beschriebenen Richtungsvektoren? Du kannst es ja anders versuchen, Hauptsache du erhältst die richtige Gleichung.

Die zweite Ebene im Abstand 10 wird deswegen bestimmt, um den Melde-Punkt zu lokalisieren.
Alternativ dazu kannst du ja auf der Geraden jenen Punkt suchen, der von der senkrechten Ebene den Abstand 10 hat (es läuft auf das Gleiche hinaus).

mY+
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Aber drücken denn nicht folgende 3 Ebenen alle dasselbe aus? Also bezogen auf die Senkrechte Luftgrenze des Landes?








Ich habe bisher immer gedacht, dass es vollkommen egal ist, wie ich aus meinen 3 gegebenen Punkte eine Ebene Bilde, da im Endeffekt immer die selbe Ebene entsteht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Woher hast du denn diese Weisheiten?
Davon stimmt keine einzige Ebene. Erstens fehlen übrigens die Gleichheitszeichen und ansonsten stimmen entweder die Stützpunkte oder die Richtungsvektoren nicht.
Beispielsweise ist (0; 0; 1) kein Stützpunkt oder auch (0; 33; 0) sicher kein zutreffender Richtungsvektor.
Weshalb willst du nicht die dir gegebenen Ratschläge umsetzen?

mY+
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es mir viel lieber ist zu wissen, was ich mache, anstatt einfach loszurechnen. smile . Ja, die Gleichheitszeichen habe ich vergessen (Bin bei der Schreibweise mithilfe des Mathe Editors bisschen verwirrt wurden). Was stimmt denn genau nicht mit den Stützpunkten oder den Richtungsvektoren? Den Punkt (0/0/1) habe ich selbst gebildet, um das Senkrechte ausdrücken zu können. Dann habe ich ganz normal eine Ebene gebildet. (x=A+rB-A+sC-A). Und das habe ich dann in drei verschiedenen Aufstellungen gemacht.

Mich würde nun interessieren warum das falsch ist bzw. habe ich bisher gedacht, dass es egal ist, wie ich eine Ebene aus 3 Punkten bilde, da es immer auf dasselbe hinausläuft.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mich noch einmal erkundigt und glaube nun das Prinzip der Ebene verstanden zu haben. Der Stützvektor hällt die Ebene und die beiden Richtungsvektoren spannen halt die ganze Ebene auf in die jeweilige Richtung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist dann egal, wie du die Ebene bildest, solange du die richtigen drei Punkte nimmst, welche in der Ebene liegen. Und das hast du bisher nicht getan. Der Punkt (0; 0; 1) tut dies sicher nicht, denn er liegt auf der z-Achse, die die Ebene garantiert nicht enthält.
Wahrscheinlich verwechselst du dies mit dem Richtungsvektor, denn dieser ist (0; 0; 1)

Du hast ja nur die Punkte G(0; -33; 0) und H(100; -83; 0) gegeben. Daraus sollst du einen der Richtungsvektoren erstellen. Der zweite ist (0;0; 1), weil die Ebene senkrecht zur x-y - Ebene steht.

Sorry, langsam wird mir das zu mühsam - zu dieser Nachtzeit hätte ich sicher auch noch was anderes zu tun - weil du immer neue und falsche Argumente bringst (die Richtungsvektoren stimmen ja zum Teil auch nicht), das wird eine never ending story, zu der ich heute wirklich nicht mehr aufgelegt bin.
Ich gehe jetzt mal schlafen, wir können morgen weiter machen. Vielleicht fällt dir in der Zwischenzeit eine bessere Variante ein.

Die Gleichung der Ebene muss übrigens x + 2y = -66 lauten.

EDIT: Das Minus vor 66 hatte ich vergessen, eingefügt!

mY+

Edit:

Zitat:
Original von SpanischLiebling
Ich habe mich noch einmal erkundigt und glaube nun das Prinzip der Ebene verstanden zu haben. Der Stützvektor hällt die Ebene und die beiden Richtungsvektoren spannen halt die ganze Ebene auf in die jeweilige Richtung?

Ja, das ist zutreffend. smile
Den Vorpost hatte ich noch nicht gelesen.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verfehle andauernd die richtige Gleichung. Dieses Mal lautet meine Ebenengleichung wie folgt:



Die daraus resultierende Koordinatengleichung lautet dann:

/ : 50




Desweiteren habe ich eine sehr wichtige Frage bezüglich eines Stützvektors. Kann ich irgendwie ,,errechnen" das ein Punkt aus 3 der Stützvektor dieser ist? Ich kann mir das ganze nicht so gut grafisch vorstellen.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

(mythos ist zurzeit OFF)

Die Koordinatengleichung ist richtig.

Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt. Dafür gibt es theoretisch unendlich viele Möglichkeiten.
Du könntest z. B. über eine der beiden Ebenengleichungen einen Punkt berechnen, der in der Ebene liegt, und dessen Ortsvektor als Stützvektor nehmen - an der Ebene ändert sich nichts.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber wenn ich nun meine Gerade F1 (Seite 1) hier in die HNF der Ebene einsetze, kommt ein falscher Paramter heraus, denn der Schnittpunkt stimmt nicht mit der Lösung überein,
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, was hat diese Frage jetzt zu tun mit der Frage nach dem Stützvektor in einer Ebenengleichung?
Die Aufgabe auf Seite 1 ist doch zu Ende besprochen, oder nicht? verwirrt

Für r habe ich 48. Und was soll rauskommen?
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich hänge leider immer noch an folgender Aufgabe und das seit zwei Tagen:

Die geradlinig verlaufende Grenze zum Nachbarland geht durch die Punkte G(0/-33/0) und H(100/-83/0). Die Grenze des Luftraumes ist eine zur Erdoberfläche (x1x2-Ebene) senkrechte Ebene, die die Landesgrenzen enthält. Aus Sicherheitsgründen muss sich ein Flugzeug bei Annäherung an das Nachbarland spätestens dann bei dessen Bodenstation anmelden, wenn der Abstand zur Luftraumgrenze 10 LE beträgt. Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem sich Flugzeug F1 , welches sich im Punkt P befindet und sich der Luftraumgrenze des Nachbarlandes nähert, spätestens bei der Bodenstation des Nachbarlandes anmelden muss

Ich weiss den Ansatz, aber nicht die verwendeten Ebenen/Geraden die ich verwenden muss. Und der Herr mYthos hat eine etwas andere Koordinatengleichung als ich. Und diese ist wichtig für meine genannte Aufgabe.^^
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne leider nicht den ganzen Thread in allen Einzelheiten, deshalb musste ich mich gerade einlesen und einiges nochmal nachrechnen.
Also die Gleichung, die Du soeben gepostet hast, muss stimmen, auch nach grober Überprüfung. Beide Punkte liegen im negativen y-Bereich, also muss das d auch negativ sein. x + 2y = -66 oder -x - 2y = 66

Der Schnittpunkt müsste dann sein: (96 81 8)
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Die Koordinaten des Schnittpunktes sollten laut Lösung S: S(73,64; -58,64; 8,00) sein. unglücklich
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand windschiefer Geraden mit Schar
Sorry, hatte ein Minus verschlampt: (96 -81 8)

Das ist die Gerade F1.
Zitat:



Daher können wir sagen:
x = 0 + 2r
y = 15 - 2r
z = 8

Eingesetzt in -x - 2y = 66 ergibt das:
-2r - 30 + 4r = 66
r = 48
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das Ergebnis, soll laut Lösungsbuch S: S(73,64; -58,64; 8,00) lauten. Also, dies ist der Punkt an dem sich das Flugzeug das letzte Mal melden kann bzw. der späteste Punkt (Abstand 10FE zur Luftraumgrenzebene,
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte ja den Schnittpunkt zwischen Flugbahn und Landesgrenze. Die Lösung des "Meldepunktes" stimmt, habe ich überprüft.

Hast Du einen Ansatz?
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Ich bilde eine Ebene, welche ich bereits genannt habe (E: -x - 2y = 66). Forme diese in die HNF um ( (-x1 - 2x2 -66)/BetragNormalenvektor=d und setze das ganze =10 und nun setze ich für die x1 und x2 Werte die 1. und 2. Geradengleichung ein um den Parameter zu bestimmen. Diesen Parameter setze ich dann in die Ausgangsgerade um den Punkt von F1 im Abstand von 10FE zur Ebene zu bestimmen.

Funktioniert aber nicht. -.-
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Schwierigkeit dabei ist, dass wir ja 10km in Richtung des Flughafens gehen müssen. Wenn Du mit 10 gleichsetzt, kann das genauso gut die andere Richtung bedeuten.
Wenn Du es unbedingt mit der HNF machen sollst, muss ich mir das genauer ansehen.

Ein anderer Ansatz wäre, einen Normalvektor auf die Landesgrenze zu bilden, zu normieren, mit 10 zu skalieren und an den Schnittpunkt anhängen, den ich erwähnt habe.
Damit haben wir einen Punkt für die Ebene, die wir mit der Flugbahn verschneiden.
Ist aber denke ich etwas aufwändiger.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich denn dann nicht die Richtung mithilfe eines zweiten Richtungsvektoren des F1 genauer beschreiben, dass somit das richtige Ergebnis herauskommen muss? Also, ich meine damit, irgendwie einen Abstand von Ebene zu Ebene zu berechnen. Oder läuft es auf dasselbe hinaus?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gibt für solche Aufgaben meistens mehrere Ansätze. Aber ich kann Dich mal beruhigen, Deine Methode funktioniert, Du musst aber mit -10 gleichsetzen.

Mit +10 bekämst Du den Schnittpunkt, der 10km "hinter" der Grenze, also schon im Nachbarland läge.
SpanischLiebling Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf wäre ich persönlich niemals gekommen! Vielen dank! Was soll ich aber machen wenn sowas in der Abiturklausur drankommt? Das würde mir niemals einfallen?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne geschehen.

Da bin ich auch überfragt. Am besten eine Skizze machen. Und wenn eine Lösung nicht plausibel ist, eben die zweite Möglichkeit probieren.
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